北京市通州区高二年级上学期数学期中试卷:高二年级(理科)数学上册期中试卷及答案

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　　一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

　　1．已知（）

　　A．B．C．D．

　　2.若，则和是的（）

　　A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

　　C.充要条件D.既不充分有必要条件

　　3.（）

　　A．B.C.D.

　　4.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C的切线，则切线长为()

　　A．4B.7C．22D．23

　　5.则大小关系是（）

　　ABCD

　　6.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,则∠PCE等于()

　　ABCD

　　7.关于的不等式的解集为（）

　　A.（-1,1）B.

　　C.D.(0,1)

　　8..直线(t为参数)和圆交于A、B两点，则AB的中点坐标为()

　　A．(3，－3)B．(－3，3)C．(3，－3)D．(3，－3)

　　9.如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，则下列结论中正确的个数是()

　　①∠1＝∠2＝∠3②AM•CN＝CM•BN

　　③CM＝CD＝CN④△ACM∽△ABC∽△CBN．

　　A．4B．3C．2D．1

　　10.已知非零向量满足：，若函数在上有极值，设向量的夹角为，则的取值范围为（）

　　A．[B．C．D．

　　11.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝()

　　A．VS1＋S2＋S3＋S4B．2VS1＋S2＋S3＋S4

　　C．3VS1＋S2＋S3＋S4D．4VS1＋S2＋S3＋S4

　　12.若实数满足则的取值范围是（）

　　A.[-1,1]B.[C.[-1，D.

　　二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上）

　　13.以的直角边为直径作圆，圆与斜边交于，过

　　作圆的切线与交于，若，，则=_________

　　14.已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为

　　15.设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是.

　　16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导数更为简单，如求的导数，可先在两边取对数，得，再在两边分别对x求导数，得即为,即导数为。若根据上面提供的方法计算函数的导数，则

　　三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

　　17．（本题满分10分）已知，对，恒成立，求的取值范围。

　　18.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

　　它与曲线C：交于A、B两点。

　　（1）求|AB|的长

　　（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离。

　　19.（本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

　　(1)求出，并猜测的表达式；

　　(2)求证：1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1．

　　20.（本题满分10分）如图,内接于⊙,是⊙的直径,是过点的直线,且.

　　(Ⅰ)求证:是⊙的切线;

　　(Ⅱ)如果弦交于点,,

　　,,求.

　　21.（本题满分14分）某园林公司计划在一块为圆心,(为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.（1）设,用表示弓形的面积;（2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润?并求相对应的

　　(参考公式:扇形面积公式，表示扇形的弧长)

　　22.（本题满分14分）已知函数

　　(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

　　(Ⅱ)求的单调区间；

　　(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围

　　【答案】

　　一、选择题：DABCDCADBDCB

　　二、填空题13．14．15．（1,3）16．

　　三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

　　17．（本题满分10分）解：∵a＞0,b＞0且a+b=1∴+=(a+b)(+)=5++≥9,

　　故+的最小值为9，------------------------5分

　　因为对a,b∈(0，+∞),使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9,-7分

　　当x≤-1时，2-x≤9,∴-7≤x≤-1,当-1＜x＜时，-3x≤9,

　　∴-1＜x＜,当x≥时,x-2≤9，∴≤x≤11,∴-7≤x≤11-------------10分

　　18.解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

　　设，对应的参数分别为，则．……3分

　　所以．……5分

　　(Ⅱ)易得点在平面直角坐标系下的坐标为，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为．……8分

　　所以由的几何意义可得点到的距离为

　　．……10分

　　20.解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.

　　∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，

　　由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4•(n－2)，

　　f(n－2)－f(n－3)＝4•(n－3)，…

　　f(2)－f(1)＝4×1，

　　∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)•n，∴f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，

　　又n＝1时，f(1)也适合f(n)．

　　∴f(n)＝2n2－2n＋1.--------6分

　　(2)当n≥2时，1fn－1＝12n2－2n＋1－1＝121n－1－1n，

　　∴1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1

　　＝1＋121－12＋12－13＋…＋1n－1－1n

　　＝1＋121－1n＝32－12n.---------------12分

　　20.（Ⅰ）证明：为直径，

　　为直径，为圆的切线……………………3分

　　（Ⅱ）

　　∽

　　∽

　　在直角三角形中

　　……………………10分

　　21【解析】（1），,.………3分

　　(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为

　　，，,

　　.

　　……8分

　　设.

　　，上为减函数；

　　上为增函数.……12分

　　当时，取到最小值,此时总利润.

　　答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润.………14分

　　22.解：.---------2分

　　（Ⅰ），解得.---------3分

　　（Ⅱ）.

　　①当时，，，

　　在区间上，；在区间上，

　　故的单调递增区间是，单调递减区间是.

　　②当时，，在区间和上，；在区间上，

　　故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

　　③当时，，故的单调递增区间是.

　　④当时，，在区间和上，；在区间上，

　　故的单调递增区间是和，单调递减区间是.---------9分

　　（Ⅲ）由已知，在上有.---------10分

　　由已知，，由（Ⅱ）可知，

　　①当时，在上单调递增，

　　故，

　　所以，，解得，

　　故.

　　②当时，在上单调递增，在上单调递减，

　　故.

　　由可知，，，

　　所以，，，

　　综上所述，.---------14分

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