【基础知识巩固】
一、 二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以根式,而,是为二次根式的前提条件,如,,等是二次等都不是二次根式。
二、取值范围
1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,
要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,
三、二次根式
(()的非负性
(
)是一个非负数,即0()。 没有意义。
有意义,是二次根式,所以)表示a的算术平方根,也就是说,(注:因为二次根式0
,所以非负数(
)表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0(),这个性质也就是非负数的算术平
,则a=0,b=0;)的算术平方根是非负数,即方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若
若,则a=0,b=0
;若,则a=0,b=0。 四、二次根式(()的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
) (
,如:)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过,. 注:二次根式的性质公式来应用:若,则五、二次根式的性质:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即
;若a是负数,则等于a的相反数-a,即
2、
3、化简六、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,时,先将它化成与的异同点
与表示的意义是不同的,
中; 一定有意义; ,再根据绝对值的意义来进行化简。 1、不同点:表示一个正数a的算术平方根的平方,而,
而中a可以是正实数,0,负实数。但表示一个实数a的平方的算术平方根;在与而都是非负数,即 ,。因而它的运算的结果是有差别的, ,2、相同点:当被开方数都是非负数,即七、二次根式的运算
1、最简二次根式必须满足以下两个条件 时,=;时,无意义,而.
(1)被开方数不含分母,即被开方的因式必须是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.
2
a≥0,b≥0);积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.
3、除法法则:
b≥0,a>0);商的算术平方根的性质即除法法则的逆用. 4、合并同类项的法则:系数相加减,字母的指数不变.
5、二次根式的加减
(1)二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并。
(2)步骤:如果有括号,根据去括号的法则去掉括号;把不是最简二次根式的二次根式化简;合并被开方数相同的二次根式。
6、混合运算:与有理数的运算一致,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里面。
有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
二次根式有意义的条件:例1:求下列各式有意义的所有x的取值范围。
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