圆锥曲线定点定值及其他常用结论(个人整理,已经没错误)

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圆锥曲线定点定值及其他常用结论

一、直线过定点问题

过定点模型：A,B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中,分别为MA,MB的倾

斜角，则有下面的结论：

①、MAMB为定值直线AB恒过定点； ②、kMAkMB为定值直线AB恒过定点； ③、(0)直线AB恒过定点.

方法：要证明直线ykxm过定点，只需要找到k与m之间的关系即可.

确定定点P(m,n)，可以证明AP,BP,AB任意两个斜率相等即可.

二、定值问题

基本思路：转化为与A,B两点相关的斜率k1与k2的关系式x1x2,x1x2的关系式

代数式形式的定值(多个参数)

结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；形如

cxdcd

，若，则该式为定值，与x无关；（注意x是变量，具有任意性，是主元） axbab

1

时，该式为定值与x无关. （注意x是变量，具有2

②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0. 例如：2t1x1，当2t10即t任意性，是主元）

三、椭圆经典结论

x2y2

1、过椭圆221 (a＞0,b＞0上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭

ab

圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC适合于双曲线，抛物线）

b2x0

（类似结论2（常数）.（求偏导可得到）

ay0

x2y2

2、设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任

ab

意一点，在PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

sinsina

x2y2

3. 椭圆221与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2

abx2y2

4. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P,Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

ab

（对原点张直角）

4a2b211112222; 2）OPOQ的最大值为21）; 3）SOPQ的222

ab|OP||OQ|aba2b2

最小值是2.

ab2

2ab2

,0)； 5）点O到直线PQ的距离d为定值：4）直线PQ必经过一个定点(2

ab2d

abab

2

2

.

x2y2

5 . 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交椭圆于M,N两点，弦MN的垂

ab

直平分线交x轴于P，则

|PF|e

.

|MN|2

x2y2

类比．过双曲线221（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，

ab

弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|PF|e

.

|MN|2

x2y2

6．设椭圆221（a＞b＞0）,M（m，0）或（0，m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一

ab

点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1 ,A2为对称轴上的两

a2b2

顶点）的交点N在直线l：x（或y）上.（用极点与极线直接写出来）

mmx2y2

21(ab0)2P(x0,y0)b7、椭圆中的过定点模型：A,B是椭圆a上异于的两动点，

其中,分别为PA,PB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：（手电筒模型）

PAPBkDAkDB1



2



直线

AB恒过定点

x0(a2b2)y0(a2b2)

(2,)ab2a2b2

x2y2

21(ab0)2ab类比．给定双曲线C：,

对C上任意给定的点P0(x0,y0),它的任一直角弦必须经过定点

a2b2a2b2

x0,22y0). （(2

ab2ab

8、抛物线中的过定点模型：A,B是抛物线y2px(p0)上异于

2

D(x0,y0)

的两动点，

其中,分别为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）

DADBkDAkDB1

(x02p,y0)

特别地 OAOBkOAkOB1



2

直线AB恒过定点



2

直线AB恒过定点(2p,0).

x2y2

9、设P点是椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点, F1,F2为其焦点记

ab

F1PF2，

则 (1)|PF1||PF2|

2b2

. (2) SPF1F2b2tan.

21cos

x2y2b2

（双曲线221(a>0,b>0)中,SF1PF2,其中θ=∠F1PF2.）

ab

tan

2

xacosx2y2

10.椭圆221(ab0)的参数方程是

abybsin，椭圆上的动点可设

acos,bsin

2y2px(p0)抛物线上的动点的坐标可设为(y0,y)，对于0（抛物线独有的一点两设）

2p

2

以简化计算.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b

(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababaxyxyb

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababa

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，

abab

2

2

0，焦点在y轴上）

(4).双曲线焦点到渐近线的距离总是b.顶点到渐近线的距离为

ab

c

(5). 双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.

抛物线常用

2y2px(p0)焦点的弦，A(x,y)、B(x2,y2)，直线AB的倾斜设AB为过抛物线11

角为，则

1.

p2

x1x2,y1y2p2;

4

2.AFx1

pppp

,BFx2

21cos21cos

P2



2sin

S0AB

1122p

3.ABx1x2p5 .;4.2

sin |FA||FB|P

圆锥曲线的切线问题（用极点与极线直接写出来）（证明需要求偏导）

1.过圆C:(x-a)+(y-b)=R上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R.

2

2

2

2

x2y2

2. 若P0(x0,y0)在椭圆221上，则以P0为切点的切线的椭圆的切线方程是

ab

x0xy0y

21. a2b

x2y2

3.若P0(x0,y0)在双曲221（a＞0，b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

ab

x0xy0y

21. a2b

4.已知点M(x0,y0)在抛物线C:y=2px(p≠0)上时，M为切点的切线l:y0y=p(x+x0). （切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来）

2

圆锥曲线的中点弦问题(点差法)（广义的垂径定理）（也适合于相切情况）

x2y2

AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abkOMkAB

b2x0b22

2=e-1，即KAB2。

aay0

x2y2

AB是双曲线221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abkOMkAB

b22b2x0

2=e-1，即KAB2。 aay0

（上面是焦点在X轴上）（焦点在Y轴上取倒数）圆锥曲线定点问题大全

结论

曲线类

曲线方程

型

定点P

斜率，M,N是曲线上异于点

曲线上

k1,k2分别是直线PM,PN的证明MN直线恒过定点

T(xT,yT)或直线MN的

序号

P的两点斜率kMN为定值

k1k20

结论1

椭圆

xa

22

kMN

b2x02 ay0



yb

22

1(ab0)

(x0,y0)

k1k20

b2

k1k22

a

2b2

(x0,y02x0)

a

2y0

kMN

y0 x0

b2

k1k22

aa2b2a2b2

(22x0,22y0) abab

k1k20

结论2

双曲线

xa

22

kMN

b2x0

2

ay0

2y0

k1k20

yb

22

2b2

(x0,2x0y0)

a

1(a0,b0)

(x0,y0)

b2

k1k22

a

kMN

y0

x0

b2

k1k22

a

结论3

抛物线

y

2

a2b2a2b2(2x,2y) 2020abab

kMN

p

y0

k1k20

2px(p0)

(x0,y0)

k1k20 k1k20

(x0

2p(x0,y0)



2y02p

,y0)

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/1b3057386f175f0e7cd184254b35eefdc8d315b6.html

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