高考数学复习总结归纳点拨 焕然一新的切线 如图1，曲线C是函数yf(x)的图象，P，Q是曲线C上的点，点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ将绕着点P逐渐转动时，割线PQ将绕着点P逐渐转动．当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线． 在这里，切线的定义有以下“焕然一新”的特点： 第一，从定义的描述中可以看出切线的基本特征：曲线C的切线PT是割线PQ的极限位置（图1）．此时，割线PQ的极限位置存在，则有切线；割线PQ的极限位置不存在，则无切线．即使是直线都可以探讨它的切线．如图2，在函数f(x)x中，当x1时，与定义中的割线PQ对应的直线是yx，割线PQ的极限位置PT也是直线yx，所以函数f(x)x在x1处有切线yx． 第二，导数的几何意义反应了曲线在某点处切线的斜率．函数在某点处的导数存在，则函数图象在该点处切线的斜率存在，故切线一定存在．函数在某点处的导数不存在，则函数图象在该点的切线的斜率不存在，故切线一定不存在．在图2中，函数f(x)x在点x0处，当x0时，x0时，y有极限1，当xy有极限1，它的左导数与右导数不相等，所以当x x0时，y无极限，函数f(x)x在点x0处无导数，即其x函数f(x)x的图象在点x0处无切线． 第三，曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及18曲线上切点的位置的改变而不同．如在曲线yx3上点P2，处的切线方程是3364．切线与曲线还有一个公共点，坐标是4，在图3中，曲线ysinx12x3y160，35π在点Px处的切线方程是： 12 1 高考数学复习总结归纳点拨 y62625πx，它与曲线ysinx的公共点有两个以上，当x的取值4412无限趋近ππ或x时，曲线的切线与曲线的公共点逐渐增多，可达到无限多个． 22 第四，定义中曲线的切线与曲线只有一个公共点时，曲线上的其余各点可以分布在切线的两侧．如图4，曲线yx3在x0处的切线方程为y0，它把曲线分为两部分．当曲线的切线与曲线不只一个公共点时，曲线更会分布在切线的两侧，如图3中过点P的切线． 第五，对于曲线的切线而言，过曲线上的某些点可以作两条或两条以上曲线的切线；过曲线外的点更可能作两条或两条以上曲线的切线． 例如：（1）过曲线yx33x2上的点(0， 0)的切线方程是 ． （2）已知曲线S:y3xx3及点P(2，2)，则过点P可向S引切线的条数为 条． 分析：（1）令切点为A(m，n)，则nm33m2．过点A的切线斜率k3m26m，故过0)在切线上，有2m33m20，∴m0A点的切线方程为yn(3m26m)(xm)，点(0， 或m3．所求切线方程为y0及9x4y0．可以看出过曲线上的点(0， 0)的切线有两条．2 （2）采用与（1）类似的求法可知过点P可向曲线S引3条切线． 在图3中，过曲线ysinx上的点M可作无数条曲线的切线．过曲线ysinx外的点Q也可作无数条曲线的切线． 通过以上分析可以看出，这里的切线概念与学过圆的切线的概念完全不同，掌握切线的这些特点，对导数概念的理解和用导数解决问题都大有帮助． 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/1bcc7b5a25284b73f242336c1eb91a37f011325d.html