“放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） n*例1、已知an21(nN).求证：an1a1a2...n(nN*). 23a2a3an1证明： ak2k11111111k1.k,k1,2,...,n, k1kkak12122(21)23.222232若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f（x）=4x14x，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+12n11(nN*). 2证明：由f(n)= 4n14n=1-111 14n22n1221112221122n得f（1）+f（2）+…+f（n）>1 111111n(1n1)nn1(nN*). 424222此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小 n(n1)(n1)2an例3、设an122334n(n1)求证： 22122n12 证明：∵ n(n1)nn n(n1)(n) 222n1 ∴ nn(n1) 2n(n1)(n1)213(2n1)an ∴ 123nan， ∴ 2222n1本题利用nn(n1)，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。 24、固定一部分项，放缩另外的项； 例4、求证：11122212317 2n4证明：1111 2nn(n1)n1n此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 5、函数放缩 ln2ln3ln4ln3n5n6n3n(nN*)3436例5.求证：2. 解析:先构造函数有lnxx1ln2ln3ln4ln3n111lnx1n3n1(n)1342333 xx,从而211111111111111nnnn3213 234567892因为23ln2ln3ln4ln3n5n5n6n3n13n3466 3所以26、裂项放缩 例6 求证:k11n2kn1253. 1124n12n12n121n2144解析:因为,所以k1kn121125111212n12n133 357、均值不等式放缩 例7.设Sn1223n(n1).求证n(n1)(n1)2Sn.22 解析: 此数列的通项为akkk(k1)k(k1),k1,2,,n. nnkk111kkSn(k)2， 22，k1k1n(n1)n(n1)n(n1)2Sn.222即2 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式(n1)(n3)(n1)2Sn(k1)22k1nabab2，若放成k(k1)k1则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 8、二项放缩 01n012n(11)nCnCnCn2nCnCnn1 ,, 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/243b30d2f9b069dc5022aaea998fcc22bcd1432c.html