八年级上 最小值问题-教师用卷
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八年级上最小值问题 副标题 题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1. 多项式5x2-4xy+4y2+12x+25的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 16 D. 25 【答案】C 【解析】解：∵5x2-4xy+4y2+12x+25， =x2-4xy+4y2+4x2+12x+25， =（x-2y）2+4（x+1.5）2+16， ∴当（x-2y）2=0，4（x+1.5）2=0时，原式最小， ∴多项式5x2-4xy+4y2+12x+25的最小值为16， 故选：C． 根据配方法将原式写成完全平方公式的形式，再利用完全平方公式最值得出答案． 此题主要考查了完全平方公式的应用，正确的将原式分解为两个完全平方公式是解决问题的关键． 2. 如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ） A. 2005 B. 2006 C. 2007 D. 2008 【答案】A 【解析】解：p=a2+2b2+2a+4b+2008， =（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005， =（a+1）2+2（b+1）2+2005， 当（a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值， 最小值最小为2005． 故选A． 把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值． 此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值． 3. 小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是（ ） A. 5y2 B. 10y2 C. 100y2 D. 25y2 【答案】D 2x×5y， 【解析】解：∵20xy=2×∴染黑的部分是（5y）2=25y2． 故选D． b）2=a2±2ab+b2，根据乘积二倍项先找出两个数为2x和5y，再根据完全平方公式：（a±把另一个数5y平方即可． 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数． 4. 如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（ ） A. a+1 B. a2+1 C. a2+2a+1 D. a+2+1 【答案】D 【解析】解：∵自然数a是一个完全平方数， ∴a的算术平方根是， ∴比a的算术平方根大1的数是+1， ∴这个平方数为：（+1）2=a+2+1． 故选D． 当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小． 解此题的关键是能找出与a之差最小且比a大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：+1的平方． 5. 如图，点P是∠AOB任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（） A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等腰三角形的性质；熟练掌握轴对称的性质是解决问题的关键．分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出，利用等腰三角形的性质，即可得出结果． 【解答】 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，=40°， ∴∠COD=80°， ∵△PMN周长=PM+PN+MN=DM+CN+MN， ∴当D、M、N、C在一条直线上时，△PMN周长取最小值， ∵PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，， ∴△OPN≌△OCN，△OPM≌△ODM， ∴∠OPN=∠OCN，∠OPM=∠ODM， ∴∠MPN=∠OCN+∠ODM， ∵OC=OD， , ∴∠OCN=∠ODM=50°∴∠MPN=100°； 故选B． 二、填空题（本大题共9小题，共27.0分） 6. 多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为______ ． 【答案】-18 【解析】解：原式=（x-3）2+（y+4）2-18， 当两完全平方式都取0时原式取得最小值=-18． 故答案为：-18． 将原式配成（x-3）2+（y+4）2-18的形式，然后根据完全平方的非负性即可解答． 本题考查完全平方式的知识，难度不大，注意运用完全平方的非负性解答． 7. 已知0≤x≤1． （1）若x-2y=6，则y的最小值是______ ； （2）若x2+y2=3，xy=1，则x-y= ______ ． 【答案】-3；-1 【解析】解：（1）∵x-2y=6， ∴y=-3， ∵＞0， ∴此函数为增函数， 故x=0时，y有最小值， y最小=-3． （2）∵0≤x≤1，xy=1， ∴x、y互为倒数， ∵x2+y2=3，xy=1， ∴（x-y）2=x2+y2-2xy=3-2=1， 1， ∴x-y=±∵x、y互为倒数， ∴x-y=x-， ∵0≤x≤1， ∴≥1， ∴x-y≤0， ∴x-y=-1． 故答案为：-1． （1）把x-2y=6转化为关于x、y的一次函数，再根据一次函数的性质解答即可． （2）先判断出x、y的关系，再根据完全平方公式求出x-y的值，舍去不合题意的即可． 本题考查了完全平方公式，比较复杂，还利用了一次函数的增减性及完全平方公式、倒数的概念等． 不小心用墨水把最后一项染8. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，黑了，得到正确的结果变为4a2-12ab+_____，你觉得这一项应是______ ． 【答案】9b2 2a•3b+△， 【解析】解：∵4a2-12ab+△=（2a）2-2×∴△=（3b）2=9b2． 故答案为：9b2． 先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可． 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 不小心用墨水把最后一项染9. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，黑了，得到正确的结果变为4a2-12ab+●，你认为染黑这一项应该是______ ． 【答案】9b2 2a•3b+△， 【解析】解：∵4a2-12ab+△=（2a）2-2×∴△=（3b）2=9b2． 故答案为：9b2． 先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可． 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 10. 小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2-10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是______． 【答案】25n2 【解析】解：∵m2-10mn+■是一个二项式的平方， ∴■=（5n）2=25n2， 故答案为：25n2． 根据m2-10mn+■=（m-5n）2求出即可． 本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a-b）2=a2-2ab+b2． 11. 小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+（ ），但最后一项不慎被污染了，这一项应是______ ． 【答案】25y2 2x•5y， 【解析】解：∵20xy=2×∴另一平方项是（5y）2，即25y2 故应填25y2． b）根据乘积二倍项和已知平方项确定出另一个数，再根据完全平方公式：（a±2=a2±2ab+b2，把另一个数平方即可． 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，确定出另一个数是求解的关键． 12. 已知△ABC的两边a，b满足a2+2b2-10a-8b+33=0，若第三边整数，则△ABC周长的最小值为______ ． 【答案】11 【解析】解：∵a2+2b2-10a-8b+33=0， ∴（a-5）2+2（b-2）2=0， ∴a=5，b=2； ∴5-2＜c＜5+2， 即：3＜c＜7． 要使△ABC周长的最小，则c=4， ∴△ABC周长的最小值是5+2+4=11． 故答案为：11． 由a2+2b2-10a-8b+33=0，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值围，得出c的数值，进一步求得答案即可． 考查了因式分解的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方． ，∠AOB有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一13. 如图，∠AOB=30°点R，若△PQR周长最小，则最小周长是______ 【答案】12 -θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长【解析】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°一倍到E，即ME=PM． 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN． 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形． ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF． -θ）=60°∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°， ∴△EOF是正三角形， ∴EF=12， 即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12． 故答案为：12 先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解． 本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答． 14. 一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值为2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2，模仿老师的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是______． 【答案】6 【解析】解：原式=x+． 在面积是9的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）， 当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0）， 解得x=3， 这时矩形的周长2（x+）=12最小， 因此x+（x＞0）的最小值是6． 故答案为：6． 将原式变形为x+，根据该老师的方法，可在面积为9的矩形中寻找，按其方法可一步步得出结论等于6． 本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，将该老师矩形面积换为9，即可求得结论． 三、计算题（本大题共3小题，共18.0分） 15. 若a是绝对值最小的数，b是最大的负整数．先化简，再求值：2（a2-2ab-b2）+（-a2+3ab+3b2） 【答案】解：由题意，得a=0，b=-1， 原式=2a2-4ab-2b2-a2+3ab+3b2=a2-ab+b2， 当a=0，b=-1时， 原式=（-1）2=1． 【解析】先将原式去括号、合并同类项，再把a=0，b=-1代入化简后的式子，计算即可． 本题考查了整式的化简求值．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 16. （1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由； （2）应用：已知x-，求x2+的值； （3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值． 【答案】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为： ∵a2+b2-2ab=（a-b）2≥0， ∴a2+b2≥2ab； （2）把x-=5两边平方得：（x-）2=x2+-2=25， 则x2+=27； （3）x2+≥2，即最小值为2． 【解析】（1）判断两式大小，利用完全平方公式验证即可； （2）已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出所求式子的值即可； （3）利用得出的规律确定出代数式的最小值即可． 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17. （本小题满分11分） 问题探究： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE. （1）证明：AD=BE； （2）求∠AEB的度数. 问题变式： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请求出∠AEB的度数以及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明：∵△ACB与△DCE是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， -∠CDB=∠BCE， ∴∠ACD=60° 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE； （2）60°； 问题变式：∠AEB=90°，AE=BE+2CM。理由略。 【解析】（1）先证出∠ACD=∠BCE，根据SAS得出△ACD≌△BCE，根据全等三角形得出AD =BE； （2）由全等三角形证出∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，从而证出∠AEB=60° 问题变式：证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，最后证出DM=ME=CM即可。 （1）证明：∵△ACB与△DCE是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， -∠CDB=∠BCE， ∴∠ACD=60°在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE； （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC=120°， ∴∠BEC=120°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°； 问题变式：∠AEB=90°，AE=BE+2CM。 理由：∵△ACB和△DCE是等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC， ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC=135°， ∴∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CDE=90°， ∵CD=CE，CM⊥DE， ∴DM=ME， ∵∠DCE=90°， ∴DM=ME=CM， ∴AE=AD+DE=BE+2CM。 四、解答题（本大题共19小题，共152.0分） 18. 问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N． 问题解决 如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小． 解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab． ∴M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2． ∵a≠b，∴（a-b）2＞0． ∴M-N＞0． ∴M＞N． 类比应用 （1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b 是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． （2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）． 联系拓广 小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【答案】解：类比应用 （1）-=， ∵a、b是正数，且a≠b， ∴＞0， ∴＞， ∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高； （2）由图知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c， N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c， M1-N1=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c）， ∵b＞c， ∴2（b-c）＞0，即：M1-N1＞0， ∴M1＞N1， ∴第一个矩形大于第二个矩形的周长． 联系拓广 2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c， 设图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c， 设图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c， 设图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×∵L1-L2=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0， ∴L1＞L2， ∵L3-L2=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0， ∴L3-L1=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c）， ∵a＞c， ∴2（a-c）＞0， ∴L3＞L1． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长． 【解析】类比应用（1）首先得出-=，进而比较得出大小关系； （2）由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，利用两者之差求出即可． 2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，图6联系拓广：分别表示出图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，图7的捆绑绳长为L3，则的捆绑绳长为L2，则L2=2a×L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系． 此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键． ，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F． 19. 在△ABC中，∠A=60°（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 图1 BE+CD=BC．小东通过观察、实验，提出猜想：他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与____________全等，判定它们全等的依据是______________； ⅱ）由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=_______°； …… ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程． （2）如图2，若∠ABC=40°，求证：BF=CA． 图2 【答案】解：（1）①(ⅰ)△BMF，SAS； (ⅱ)60； ②证明：如图． ∵由ⅰ）知△BEF≌△BMF, ∴∠2=∠1, , ∵由ⅱ）知∠1=60°, ∴∠2=60°，∠3=∠1=60°, ∴∠4=180°－∠1－∠2=60°∴∠3=∠4, ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠5=∠6, 在△CDF和△CMF中， ∴△CDF≌△CMF, ∴CD=CM, ∴BE+CD=BM+CM=BC． （2）证明：作∠ACE的角平分线CN交AB于点N，如图． ∵∠A=60°，∠ABC=40°， , ∴∠ACB=180°－∠A－∠ABC=80°∵BD，CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2= ∠ABC=20°， ∠3=∠ACE=∠ACB=40°． ∵CN平分∠ACE， ∴∠4=∠ACE =20°． ∴∠1=∠4． ∵∠5=∠2+∠3=60°， ∴∠5=∠A． ∵∠6=∠1+∠5，∠7=∠4+∠A， ∴∠6=∠7． ∴CE=CN． ∵∠EBC=∠3=40°， ∴BE=CE． ∴BE=CN． 在△BEF和△CNA中， ∴△BEF≌△CNA． ∴BF=CA． 【解析】【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线定义，三角形角和定理，三角形外角性质等知识点，并且在这里还应用了截长补短法证明三角形全等. （1）①ⅰ）利用小东猜想的解题思路求解即可； ⅱ）根据角平分线的定义和三角形角和定理，得到∠BFC=120°，再根据邻补角得到∠EFB的度数； ②在BC上截取BM，使BM=BE，由ⅰ）知△BEF≌△BMF，得到∠2=∠1，由ⅱ）知∠1=60°，得到∠3=∠4，即可证明△CDF≌△CMF，可得CD=CM，从而得出结论. （2）作∠ACE的角平分线CN交AB于点N，由三角形角和定理得到∠ACB=80°，由角平分线的定义得到∠1=∠4，利用三角形外角的性质得到∠6=∠7，得到从而CE=CN，进而证明△BEF≌△CNA，得到结论即可. 【解答】 解：（1）①ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与△BMF全等，判定它们全等的依据是SAS. 故答案为△BMF；SAS. ⅱ）∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线， -（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=120°∴∠BFC=180°， ∴∠EFB=60°， 故答案为60； ②见答案； （2）见答案. 20. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8．点F在BC上CF=2，E是AB中点． （1）求证：AC平分∠BCD； （2）在AC上找一点M，使EM+FM的值最小，请你说明最小的理由，并求出这个最小值． 【答案】（1）证明：∵AD=DC， ∴∠DAC=∠DCA． ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA． ∴∠BCA=∠DCA． 即AC平分∠BCD． （2）解：过点F作FG⊥AC于G，并延长交CD于N，连接EN交AC于M，连接MF． ∵∠BCA=∠DCA，∠FGC=∠NGC，GC=GC， ∴△CFG≌△CNG． ∴CF=CN=2． ∴GF=GN， ∴FM=MN， ∵E，M，N在一条直线上， ∴EM+MN最短， ∴EM+FM最短． ∵CD=4， ∴CN=DN=2． ∵E是AB中点， ∴EN=（AD+BC）=（4+8）=6， ∴EM+FM=EM+MN=EN=6． 【解析】（1）若要证明ACAC平分∠BCD，只要证明∠BCA=∠DCA即可； （2）过点F作FG⊥AC于G，并延长交CD于N，连接EN交AC于M，连接MF，易证EN为梯形的中位线，求得EN即可． 本题主要考查了梯形的性质的应用、最短路线问题，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N． （1）若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是______ ． （2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 【答案】50° 【解析】解：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠A=40°， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∴∠ABN=∠A=40°， ∴∠ANB=100°， ∴∠MNA=50°； 故答案为50°． （2）①∵AN=BN， ∴BN+CN=AN+CN=AC， ∵AB=AC=8cm， ∴BN+CN=8cm， ∵△NBC的周长是14cm． ∴BC=14-8=6cm． ②∵A、B关于直线MN对称， ∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合， 即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值， ∴△PBC的周长最小值为14cm． （1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=70°，求得∠A=40°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN，进而得出∠ABN=∠A=40°，根据三角形角和定理就可得出∠ANB=100°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA=50°； （2）①根据△NBC的周长=BN+CN+BC=AN+NC+BC=AC+BC就可求得． ②根据轴对称的性质，即可判定P就是N点，所以△PBC的周长最小值就是△NBC的周长． 本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形角和定理以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． b）2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学22. 上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2=0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x= ______ 时，代数式x2-6x+12的最小值是______ ； （2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x= ______ 时，y有最______ 值（填“大”或“小”），这个值是______ ； （3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值． 【答案】3；3；1；大；-2 【解析】解：（1）∵x2-6x+12=（x-3）2+3， ∴当x=3时，有最小值3； （2）∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2， ∴当x=1时有最大值-2； （3）∵-x2+3x+y+5=0， ∴x+y=x2-2x-5=（x-1）2-6， ∵（x-1）2≥0， ∴（x-1）2-6≥-6， ∴当x=1时，y+x的最小值为-6． （1）配方后即可确定最小值； （2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可； 考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大． 23. 阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值． 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式0）的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，与点A（1，1）、点B ______ 的距离之和．（填写点B的坐标） （2）代数式【答案】（2，3）或（2，-3）；10 【解析】解：（1）∵原式化为+的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A的最小值为______ ． （1，1）、点B（2，3）或（2，-3）的距离之和， 故答案为（2，3），（2，-3）； （2）∵原式化为+的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和， 如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′， ∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短， ∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度， ∵A（0，7），B（6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B===10， 故答案为：10． （1）先把原式化为+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解． 24. 随着几何部分的学习，小鹏对几何产生了浓厚的兴趣，他最喜欢利用手中的工具画图了.如图，作一个∠AOB，以O为圆心任意长为半径画弧分别交OA，OB于点C和点D，将一副三角板如图所示摆放，两个直角三角板的直角顶点分别落在点C和点D，直角边中分别有一边与角的两边重合，另两条直角边相交于点P，连接OP．小鹏通过观察和推理，得出结论：OP平分∠AOB. 你同意小鹏的观点吗？如果你同意小鹏的观点，试结合题意写出已知和求证，并证明。 已知：∠AOB中，___=___，______，______. 求证：OP平分∠AOB. 【答案】OC，OD； PC，OA ，PD，OB 【解析】【分析】 本题考查的是全等三角形的判定，角平分线的定义有关知识， 【解答】 解：已知：∠AOB中，OC=OD，，. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵，， ∴∠PCO=∠PDO=90°， 在Rt△PCO和Rt△PDO中 ， ∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL) ， ∴∠COP=∠POD， ∴OP平分∠AOB， 故答案为OC，OD；PC，OA ，PD，OB. 25. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q）q两因数之差的绝对值最小，q，在n的所有这种分解中，如果p，我们就称p×12，2×6或3×4，因为是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12-1＞6-2＞4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）若F（a）= 且a为100以的正整数，则a=______ （2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由． 【答案】6，24，54，96 3=6，4×6=24，6×9=54，8×12=96； 【解析】解：（1）2×（2）F（m）存在最大值和最小值． 当m为完全平方数，设m=n2（n为正整数）， ∵|n-n|=0， n是m的最佳分解， ∴n×∴F（m）==1； 又∵F（m）=且p≤q， ∴F（m）最大值为1， 此时m为16，25，36，49，64，81 当m为最大的两位数质数97时，F（m）存在最小值，最小值为． 故答案为：6，24，54，96． （1）由最佳分解定义可得a的值； （2）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得 本题主要考查了因式分解的应用、完全平方数以及新定义，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 常可利用它来解决两条线段和最小的相26. 我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题： 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小． PB=PB′．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB′，与直线l的交点，就是要求的点P． 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 探究： （1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是______； （2）如图4，A是锐角MON部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图5，平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是______，点D的坐标应该是______． 【答案】；（0，2）；（2，0） 【解析】解：（1）连接AE，则EP+CP的最小值=AE==． ； （2）如图所示： 点B，C即为所求作的点； （3）作点B关于y轴的对称点B'，作A关于x轴的对称点A’， 则B'的坐标是（-4，6），A'的对称点是（6，-4）． 设直线A'B'的解析式是y=kx+b， 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是：y=-x+2， 令x=0，解得：y=2，则C的坐标是（0，2）； 令y=0，解得：x=2，则D的坐标是（2，0）． 故答案是：（0，2），（2，0）． （1）C的对称点是点A，则AE的长度就是EP+CP的最小值，据此即可求解； （2）作D关于OM和ON的对称点，则对称点的连线与OM、ON的交点就是B、C； （3）作点B关于y轴的对称点B'，作A关于x轴的对称点A’，求得直线A'B'的解析式，直线与y轴和x轴的交点就是C和D． 本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是根据“两点之间，线段最短”，并且利用了正方形的轴对称性． 27. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中完全平方公式x2±有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x-4的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式=2（x2+6x-2） =2（x2+6x+9-9-2） =2[（x+3）2-11] =2（x+3）2-22 因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数 所以（x+3）2的最小值为0，此时x=-3 进而2（x+3）2-22 0-22=-22 的最小值是2×所以当x=-3时，原多项式的最小值是-22 解决问题： 请根据上面的解题思路，探求多项式3x2-6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值． 【答案】解：原式=3（x2-2x+4） =3（x2-2x+1-1+4） =3（x-1）2+9， ∵无论x取什么数，都有（x-1）2的值为非负数， ∴（x-1）2的最小值为0，此时x=1， 0+9=9， ∴3（x-1）2+9的最小值为：3×则当x=1时，原多项式的最小值是9． 【解析】原式提取3，配方后利用非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可． 此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 28. 请阅读，完成证明和填空． 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，容如下： （ 1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60°．请证明：∠NOC=60°． （ 2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN= ______ ，且∠DON= ______ °． （ 3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN= ______ ，且∠EON= ______ °． （ 4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ． (3)ME,108° （4）以上所求的角恰好等于正n边形的【答案】（1）略 （2）DM,90°角 【解析】（1）证明：∵△ABC是正三角形， ∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC， 在 △ABN和△BCM中， ∴△ABN≌△BCM， ∴∠ABN=∠BCM， 又 ∵∠ABN+∠OBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°， ∴∠NOC=60°； （ 2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB， 又 ∵AM=BN， ∴△ABN≌△DAM（SAS）， ∴AN=DM，∠ADM=∠BAN， 又 ∵∠ADM+∠AMD=90°， ∴∠BAN+∠AMD=90°∴∠AOM=90°，即∠DON=90°； （ 3）解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A=∠B，AB=AE， 又 ∵AM=BN， ∴△ABN≌△EAM， ∴AN=ME， ∴∠AEM=∠BAN， ∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°； （ 4）解：以上所求的角恰好等于正n边形的角． ，AD平分∠BAC与BC交于D点，M、N分别在29. 如图，已知Rt△ABC，∠ACB=900°AC上的动点，MC，N的位置．线段AD、连接MN、当MN+MC最小时，画出M、已知△ABC的面积为12cm2，AB=6cm，求MN+MC的最小值． 【答案】解：如图：作DE⊥AB于点E，连接CE，作EN⊥AC于点N，交AD于点M，则点M、N就是所求作的点． ∵AD平分∠BAC与BC交于D点，∠ACB=90°∴由作图可知：CD=DE ∴△ADE与△ADC关于直线AD对称，即点C与点E关于直线AD对称， ∵作EN⊥AC于点N，交AD于点M， ∴EN是点E到AC的最短距离， ∴MN+MC=MN+ME=EN， 作MF⊥AB于点F， 则：MN=MF 在Rt△FME与Rt△NMC中， Rt△FME≌Rt△NMC（HL）， ∴∠FME=∠NMC ∠FME+∠EMC=∠EMC+∠NMC=180°． ∴点F、M、C三点共线，NE=CF ∵已知△ABC的面积为12cm2，AB=6cm， 6•CF=12， ∴×∴CF=4（cm）， 即：MN+MC的最小值为4cm． 【解析】①作DE⊥AB于点E，连接CE，作EN⊥AC于点N，交AD于点M，则点M、N就是所求作的点． ②作MF⊥AB于点F，证明：MN+MC的最短距离为MN+ME=EN，再证明点F、M、C 三点共线，NE=CF，然后根据三角形的面积求解即可． 本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，解题的关键是掌握“两点之间线段最短”与“点到直线的所有连线当中，垂线段最短”等知识要点． 30. 如图，CN是等边△的外角部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：如图， （2）解：∵点A与点D关于CN对称， ∴CN是AD的垂直平分线， ∴CA=CD． ∵， ∴∠ACD=2． ∵等边△ABC， ∴CA=CB=CD，∠ACB=60°． +． ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°∴∠BDC=∠DBC=（180°∠BCD）=60°． （3）结论：PB=PC+2PE． 本题证法不唯一，如： 证明：在PB上截取PF使PF=PC，连接CF． ∵CA=CD，∠ACD= ∴∠CDA=∠CAD=90°． ∵∠BDC=60°， ∴∠PDE=∠CDA-∠BDC=30°． ∴PD=2PE． ∵∠CPF=∠DPE=90°∠PDE=60°． ∴△CPF是等边三角形． ∴∠CPF=∠CFP=60°． ∴∠BFC=∠DPC=120°． ∴在△BFC和△DPC中， ∴△BFC≌△DPC． ∴BF=PD=2PE． ∴PB= PF +BF=PC+2PE． 【解析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的定义、三角形角和定理，三角形全等的性质和判定，熟练运用轴对称的性质、角平分线的定义、三角形角和定理，三角形全等的性质和判定解决问题是解题的关键. （1）直接根据轴对称的定义补出图形； （2）根据轴对称的定义判定CA=CD，再根据等边△ABC，得出∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α，最后根据角平分线的定义和三角形角和定理求出答案； （3）在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，证明△BFC≌△DPC，从而得出PB=PC+2PE. 31. 小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小． 【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到+60°=180°△ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在P′、△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小． 【探究】（1）如图2，P为△ABC一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小； 【拓展】（2）如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值． 【答案】解：（1）如图1，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE， ∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°， ∴△APD为等边三角形， ∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°， +60°=180°∴∠APB+∠APD=120°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线， ∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE． ∴PA+PB+PC的值最小． （2）如图，分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P， ∴AB=DB、BE=BC=8、∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ∵， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴CD=AE、∠BAE=∠BDC， 又∵∠AOP=∠BOD， ∴∠APO=∠OBD=60°， 在DO上截取DQ=AP，连接BQ， 在△ABP和△DBQ中， ∵， ∴△ABP≌△DBQ（SAS）， ∴BP=BQ，∠PBA=∠QBD， 又∵∠QBD+∠QBA=60°， ∴∠PBA+∠QBA=60°，即∠PBQ=60°， ∴△PBQ为等边三角形， ∴PB=PQ， 则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE， 在Rt△ACE中，∵AC=6、CE=8， ∴AE=CD=10， 故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10． 【解析】（1）将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，可得PC=DE，再证△APD为等边三角形得PA=PD、∠APD=∠ADP=60°，由∠APB=∠BPC=120°知B、P、D、E四点共线，根据两点间线段最短即可得答案； （2）分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，先证△ABE≌△DBC可得CD=AE、∠BAE=∠BDC，继而知∠APO=∠OBD=60°，在DO上截取DQ=AP，再证△ABP≌△DBQ可得BP=BQ、∠PBA=∠QBD，从而可证△PBQ为等边三角形，得PB=PQ，由PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE，Rt△ACE中根据勾股定理即可得AE的长，从而可得答案． 本题主要考查旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换及全等三角形的性质转化为同一直线上的线段来解题的关键． 32. 解决下列两个问题： （1）如图1，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．EF垂直且平分BC．点P在直线EF上，直接写出PA+PB的最小值，并在图中标出当PA+PB取最小值时点P的位置； 解：PA+PB的最小值为______． N在∠BAC的部，（2）如图2．点M、请在∠BAC的部求作一点P，使得点P到∠BAC两边的距离相等，且使PM=PN．（尺规作图，保留作图痕迹，无需证明） 【答案】4 【解析】解：（1）点P的位置如图所示： ∵EF垂直平分BC， ∴B、C关于EF对称， 设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，即最小值为4． 故答案为4． （2）如图，①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，则点P即为所求． （1）根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论． （2）作∠AOB的平分线OE，作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，点P即为所求． 本题考查基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用两点之间线段最短解决最短问题． 33. 阅读材料： 分解因式：x2+2x-3 解：x2+2x-3 =x2+2x+1-1-3 =（x2+2x+1）-4 =（x+1）2-4 =（x+1+2）（x+1-2） =（x+3）（x-1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法． （1）用上述方法分解因式：m2-4mn+3n2； （2）无论m取何值，代数式m2-4m+2015总有一个最小值，请尝试用配方法求出当m取何值时代数式的值最小，并求出这个最小值． 【答案】解：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-n2=（m-2n）2-n2=（m-n）（m-3n）； （2）m2-4m+2015=m2-4m+4+2011=（m-2）2+2011， ∵（m-2）2≥0， ∴（m-2）2+2011≥2011， ∴当m=2时，m2-4m+2015的最小值是2011． 【解析】（1）把原式化为m2-4mn+4n2-n2，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）把原式化为（m-2）2+2011的形式，根据平方的非负性求出最小值． 本题考查的是配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再进行配方． D为BC边上一个动点C均不重合）AD=AE，△ABC是等边三角形，（D与B、，34. 如图，∠DAE=60°，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：CE平分∠ACF； （3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE． （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BCA=60°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE=∠B=60°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE=∠B=60°， ∴∠ECF=180-∠ACE-∠BCA=60°， ∴∠ACE=∠ECF， ∴CE平分∠ACF． （3）解：∵△ABD≌△ACE， ∴CE=BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=2， ∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD， 根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值， ∵AB=AC， ∴BD===1． 【解析】（1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需证∠BAD=∠CAE即可得结论； （2）证明∠ACE和∠ECF都等于60°即可； （3）将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理以及垂线段最短原理，关键是找出能使三 角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 35. 在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1） （1）求证：∠BAD=∠EDC； （2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM． ①依题意将图2补全； ②小通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形； 想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可． 请你参考上面的想法，帮助小证明DA=AM（一种方法即可） 【答案】解：（1）如图1，∵DE=DA， ∴∠E=∠DAC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACD=60°， 即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°， ∴∠BAD=∠EDC； （2）①补全图形如图2； ②证法1：由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC， ∵DE=DA， ∴DM=DA， 由（1）可得，∠BAD=∠EDC， ∴∠MDC=∠BAD， -∠B=120°∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°， ∴∠MDC+∠ADB=120°， -120°=60°∴∠ADM=180°， ∴△ADN是等边三角形， ∴AD=AM； 证法2：连接CM， 由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC， ∵DE=DA， ∴DM=DA， 由（1）可得，∠BAD=∠EDC， ∴∠MDC=∠BAD， -∠B=120°∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°， ∴∠MDC+∠ADB=120°， -120°=60°∴∠ADM=180°， -60°2=60°∴△ADM中，∠DAM=（180°）÷， 又∵∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠CAM， 由轴对称可得，∠DCE=∠DCM=120°， 又∵∠ACB=60°， -60°=60°∴∠ACM=120°， ∴∠B=∠ACM， 在△ABD和△ACM中， ， ∴△ABD≌△ACM（ASA）， ∴AD=AM． 【解析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E=∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，据此可得出∠BAD=∠EDC； （2）①根据轴对称作图即可；②想法1：要证明DA=AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形；想法2：连接CM，只需根据ASA证明△ABD≌△ACM即可． 本题属于三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称变换以及三角形外角性质等知识的综合应用．根据题目条件构造相应的全等三角形是解第（2）题的关键，解题时注意运用等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等． 36. 图1，是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形． 操作与思考： 操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图2或如图3； 思考：在图2和图3中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系，并说明理由． 猜想与发现：根据上面的操作和思考过程，请你猜想：当α为______ 度时，线段AD的长度最大，当α为某个角度时，线段AD的长度最小，最小是______ ． 【答案】180；a-b 【解析】解：在图2中，BE=AD．理由如下： 在图1中，∵△ABC和△C′DE都是等边三角形， ∴CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°， ∵△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α， ∴∠BCE=∠ACD=α， 在△BCE和△ACD中 ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE=AD； 在图3中，BE=AD．理由如下： ∵△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α， ∴∠BCE=∠ACD=α， 与前面一样可证得△BCE≌△ACD（SAS），则BE=AD； 当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，所以α=180°； 当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值为AC-CD=a-b． 故答案为180°；a-b． 在图2中，根据△ABC和△C′DE都是等边三角形得CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，再根据旋转的性质得∠BCE=∠ACD=α，则可根据“SAS”判断△BCE≌△ACD，所以有BE=AD；在图3中用同样的方法可得到BE=AD； 根据前面的旋转得到当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，则此时旋转的角度为180°；当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值为AC-CD． 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/31f21db352e79b89680203d8ce2f0066f53364ff.html