2019年导数的定义和几何意义(一).doc

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导数的定义和集合意义（导数辅导一）

一、定义的理解 1．f(x0)lim

/

x0

f(x0x)f(x0)

叫函数yf(x)在xx0处的导数，记作y/|xx0 。

x

注：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。③

y

是函数yf(x)对自变量x在x范x

围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线yf(x)上点（x0，f(x0)）及点（x0+x，

f(x0x0)）的割线斜率。④导数f/(x0)lim

x0

f(x0x)f(x0)

是函数yf(x)在

x

点x0的处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在x0点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。

2. 函数f(x)在xx0处的导数f'(x0)的几何意义：曲线C:yf(x)在其上点P(x0，

y0)处的切线的斜率。

注：①用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。②注意区分“求曲线yf(x)上过点M的切线”与“求曲线yf(x)上在点M处的切线”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。

3. （1）几种常见的函数导数：①、c （c为常数）； ②、(x

n

) （nR）；

(sinx)= ；(cosx) = ；③、④、 ⑤、(a

⑦、(loga

x

⑥、 (ex) ；) ；

x) ； ⑧、(lnx) .

u

v

uvuv

v2

（2）求导数的四则运算法则：(uv)uv；(uv)uvuv；()

4. 复合函数的求导法则： fx((x))f(u)(x) 或 yxyuux 二、典例选讲：（1）定义的应用 1、若f/(x0)2，则lim

k0



f(x0k)f(x0)

等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2

2k

1

解析：∵f/(x0)2，即lim

k0

f[x0(k)]f(x0)f(x0k)f(x0)

=2lim=-1。

k0k2k

x0

2、设函数f(x)在任何处可求导且lim

A．0

B．

f(x02x)f(x0)

2,则f(x0) ( )

x

C． 1

D． 2

1 2

3、设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比

CC(q0q)C(q0)

刻划. 如果q无限趋近于0

qq

时，

C

无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为q0时，增加单位q

产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数

x2是C(x)＝8＋，则生产8个单位产品时，边际成本是：（）

8

A．2