【数学】交大附中高一月考-(2017.3)

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交大附中高一月考数学卷

2017.3

一. 填空题

1. 你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是

2. 已知角的终边在直线y2x上，则sin2的值为

3. 把sin3cos化为Asin()(A0，(0,2))的形式：

x22x154. 函数y的定义域为

x11

5. 函数y12的最大值是

x2x2

122

6. 已知sincos，求tancot

22

7. 已知：sin(3)，则

3

tan(5)cos(2)sin(3)

2tan(6)cos()

7tan()sin(4)cot()

22

8. 若函数ylg(axax1)的值域为R，则实数a的取值范围是 9. 若关于x的方程5

x2

a3

有负根，则实数a的取值范围是 a3

62

，发现与标 4

10. 小瑗在解试题：“已知锐角与的值，求的正弦值”时，误将两角和的正弦公式错记成了“sin()coscossinsin”，解得的结果为

准答案一致，那么原题中的锐角的值为（写出所有的可能值）

11. 已知5sinsin3sin，则函数ysinsin的最小值为 12. 已知f(sinx)2x1(x[

二. 选择题

13. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的中心角是（） A. 2弧度 B. 3弧度 C. 4弧度 D. 5弧度 14. 角的终边在第三象限，那么

2

2

2

2



,])，那么f(cos10)

22



的终边不可能在的象限是第（）象限 3

1

sin()，则、的大小关系是（） 2

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 15. 已知、均为锐角，且sin

A.  B.  C.  D. 不能确定 16. 下列关于幂函数f(x)x(aQ)的论述中，正确的是（） A. 当a0时，幂函数的图像是一条直线 B. 幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)两个点

C. 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在定义域内是增函数 D. 幂函数f(x)的图像不可能在第四象限内

三. 解答题

17. 有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200 毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升；

（1）试将饮料中细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；

（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几小时后该饮料将对人体有害；（精确到0.1小时）

18. 已知△ABC中，tanA、tanB是方程xax40的两个实数根；（1）若a8，求tanC的值；

（2）求tanC的最小值，并指出此时对应的tanA与tanB的值；

19. f(x)sinxsin(x)sin(x)，其中、是适合0的常数；

2

2

2

a

2

3

，求函数f(x)的最小值；

44

（2）f(x)是否可能为常值函数？如果可能，求出f(x)为常值函数时，、的值；如果

（1）若

，

不可能，请说明理由；

20. 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线



1yx2的两条相互垂直的弦（点A、B在第二象限），且AC、BD交于点F(0,)，点E

4

为y轴上一点，记EFA，其中为锐角；

（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于的函数；

（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小？

21. 若函数f(x)定义域为R，满足对任意x1、x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，则称f(x)为“V形函数”；若函数g(x)定义域为R，g(x)恒大于0，且对任意x1、x2R，有lg[g(x1x2)]lg[g(x1)]lg[g(x2)]，则称g(x)为“对数V形函数”；（1）当f(x)x时，判断f(x)是否为V形函数，并说明理由；（2）当g(x)x2时，证明：g(x)是对数V形函数；

（3）若f(x)是V形函数，且满足对任意xR，有f(x)2，问f(x)是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由；

22

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交大附中高一月考数学卷

一. 填空题

1. 你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是

【解析】逆时针转了两圈，4

2. 已知角的终边在直线y2x上，则sin2的值为【解析】tan2，sin2

4

5

3. 把sin3cos化为Asin()(A0，(0,2))的形式：【解析】2sin(

23

) 4. 函数yx22x15

x1

的定义域为

【解析】x2

2x150且x1，3x5，∴[3,1)

(1,5]

5. 函数y11

x22x2

的最大值是

【解析】y11

(x1)2

1

2 6. 已知sincos

12

，求tan2cot2

 【解析】tan2

cot2

sin2cos2sin4cos41cos2sin2sin2cos22sin2cos2

sin2cos2



， sincos346

8，∴tan2cot2

9

7. 已知：sin(3)2

3

，则

tan(5)cos(2)sin(3)

2tan(6)cos() tan(7

2)sin(4)cot(2

)

【解析】原式

tancossin2

cotsintan2(tan)(cos)3sin33

2

8. 若函数ylg(ax2

ax1)的值域为R，则实数a的取值范围是【解析】a0，0，解得a4 9. 若关于x的方程5x



a3

a3

有负根，则实数a的取值范围是 2017.3

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【解析】0

a3

a3

1，解得a3 10. 小瑗在解试题：“已知锐角与的值，求的正弦值”时，误将两角和的正弦公式错记成了“sin()coscossinsin”，解得的结果为

62

4

，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角的值为（写出所有的可能值）【解析】sincoscossincoscossinsin231

2(22

)，观察可得，锐角的可能值为

3、4、6 11. 已知5sin2sin23sin，则函数ysin2sin2

的最小值为

【解析】ysin2

sin2

6sin2

3sin，sin2

5sin2

3sin[0,1]，解得

sin[

32910,35][0,329

10

]，当sin0，ymin0 12. 已知f(sinx)2x1(x[



2,2])，那么f(cos10)

【解析】f(cos10)f[sin(1072)]2(107

2

)1217

二. 选择题

13. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的中心角是（） A. 2弧度 B. 3弧度 C. 4弧度 D. 5弧度

【解析】设半径为r，弧长为l，∴lr2，l2r4，l2，r1，∴2，选A 14. 角的终边在第三象限，那么



3

的终边不可能在的象限是第（）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

【解析】B，等分象限法，或求出

2k2k3[33,23]，kZ，可知选B 15. 已知、均为锐角，且sin1

2

sin()，则、的大小关系是（）

A.  B.  C.  D. 不能确定

【解析】特殊值法，取



6，



3，满足sin

1

2

sin()，选A 16. 下列关于幂函数f(x)xa

(aQ)的论述中，正确的是（）

A. 当a0时，幂函数的图像是一条直线 B. 幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)两个点

C. 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在定义域内是增函数 D. 幂函数f(x)的图像不可能在第四象限内【解析】选D

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三. 解答题

17. 有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200 毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升；

（1）试将饮料中细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；

（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几小时后该饮料将对人体有害；（精确到0.1小时）

【解析】（1）y40002，x0；

（2）4000290000，解得x4.49，即4.5小时候对人体有害； 18. 已知△ABC中，tanA、tanB是方程xax40的两个实数根；（1）若a8，求tanC的值；

（2）求tanC的最小值，并指出此时对应的tanA与tanB的值；【解析】（1）x8x40，tanAtanB4，tanAtanB8，

2

2

x

x

tanCtan(AB)

2

tanAtanB8

；

tanAtanB13

（2）a160，tanAtanB40，∴tanA0且tanB0，∴a4

tanCtan(AB)

2

tanAtanBa4

，此时，tanAtanB2；

tanAtanB133

2

2

19. f(x)sinxsin(x)sin(x)，其中、是适合0的常数；

3

，求函数f(x)的最小值；

44

（2）f(x)是否可能为常值函数？如果可能，求出f(x)为常值函数时，、的值；如果

（1）若

，

不可能，请说明理由；

【解析】（1）f(x)sinxsin(x

2

2





)sin2(x)sin2x11；

44

2

2

2

2



（2）假设为常值函数，f(0)f()，sinsin1coscos，



2

2(sin2sin2)3，∴sin2sin2

31222

，coscos，∴，； 2233

20. 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线

1

yx2的两条相互垂直的弦（点A、B在第二象限），且AC、BD交于点F(0,)，点E

4

为y轴上一点，记EFA，其中为锐角；

（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于的函数；

（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小？

微信公众号:上海试卷

【解析】（1）A(msin,mcos1

4

)，

mcos

14m2sin2，即m2sin2mcos14

0 mcoscos2sin2cos1

2sin2，即m2sin2



； cos(

)1

（2）m21sin11cos，∴S11sin 2sin2(2

)2cos2

12mm22sin22cos2S11cos1sin222sin22cos2，SS22sincos

1S28sin2cos2



，设tsincos t(0,12]，S1t1111114t24(t2t)，t2，∴t2时，Smin2，此时4

；

21. 若函数f(x)定义域为R，满足对任意x1、x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，则称f(x)为“V形函数”；若函数g(x)定义域为R，g(x)恒大于0，且对任意x1、x2R，有lg[g(x1x2)]lg[g(x1)]lg[g(x2)]，则称g(x)为“对数V形函数”；（1）当f(x)x2

时，判断f(x)是否为V形函数，并说明理由；（2）当g(x)x2

2时，证明：g(x)是对数V形函数；

（3）若f(x)是V形函数，且满足对任意xR，有f(x)2，问f(x)是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由；

【解析】（1）不是，(x222

1x2)x1x2不恒成立；

（2）即证g(x)g(x)，即(x222

1x21)g(x21x2)2[(x1)2][(x2)2] ∴2x222x2

1x2x1x2x122，显然成立，∴g(x)是对数V形函数；

（3）f(x1)11，f(x2)11，∴[f(x1)1][f(x2)1]1，展开得，

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)11，即f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，

∵f(x1x2)f(x1)f(x2)，∴f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2) ∴lg[f(x1)f(x2)]lg[f(x1)f(x2)]lg[f(x1x2)] ∴lg[f(x1)]lg[f(x2)]lg[f(x1x2)]，∴是对数V形函数

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9dae5d30f9d6195f312b3169a45177232f60e4d5.html

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