高中大题细做
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第一天（貌似不同） （1）求函数f（x）在[t,t+2]（t>0）上的最小值 （2）对一切x∈(0,+∞),2f(x)>=g(x)恒成立，求实数a的取值范围 （3）证明：对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e^x-2/ex成立 第二天 1.解：离心率为根号2/2, 得 b^2=c^2=a^2/2 椭圆方程可变为：x^2+2y^2=a^2 因为 向量PF1×向量PF2=0，OP的绝对值=1 所以 PF1垂直PF2 PF1F2为直角三角形， F2F1等于2OP，等于2 即 c=1 a=2c/√2=√2 a^2=2 椭圆方程 x^2+2y^2=2 2.猜想M点为：（0,1） 设A（x1,y1）, B(x2,y2) 过s(0,--1/3)的AB直线方程为：y+1/3=kx 代入 椭圆方程 x^2+2y^2=2 x^2+2(kx--1/3)^2=2 (1+2k^2)x^2--4kx/3--16/9=0 x1+x2=+4k/3(1+2k^2) x1x2=--16/9(1+2k^2) y1+y2=k(x1+x2)--2/3=4k^2/3(1+2k^2)--2/3 y1y2=(kx1--1/3)(kx2--1/3)=k^2(x1x2)--k(x1+x2)/3+1/9 =--16k^2/9(1+2k^2)--4k^2/9(1+2k^2)+1/9=--20k^2/9(1+2k^2)+1/9 直线MA的斜率k1=(y1--1)/x1 直线MB的斜率 k2=(y2--1)/x2 k1k2=[(y1-1)(y2-1)]/[x1x2]=[y1y2--(y1+y2)+1]/[--16/9(1+2k^2)] =[--20k^2/9(1+2k^2)+1/9--4k^2/3(1+2k^2)+2/3+1]/[--16/9(1+2k^2)] =[--20k^2/9(1+2k^2)--12k^2/9(1+2k^2)+16/9]/[--16/9(1+2k^2)] =[--32k^2/9(1+2k^2)+16(1+2k^2)/9(1+2k^2)]/[--16/9(1+2k^2)] =[16/9(1+2k^2)]/[--16/9(1+2k^2)]=--1 k1k2=--1 证明MA垂直MB 即三角形MAB为直角三角形 所以以AB为直径的圆恒过点M。 第三天（第二题没有。。） (1)求椭圆C的方程； (2)过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程；(6分) 解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a＞b＞0),依题意得得∴b=4. 2∴椭圆的标准方程为+=1. (2)设过点A的直线方程为y=k(x-5)，代入椭圆方程+=1得 (4+5k)x-50kx+125k-20=0.(*)依题意得Δ=0，即(50k2)2-4(4+5k2)(125k2-20)=0, 得k=±，且方程的根为). 2222x=1,∴D(1,±当点D位于x轴上方时，过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E， 直线DE的方程是y-=(x-1)，∴E(,0). 所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为(x)+(y2)=. 同理可得：当点D位于x轴下方时，圆的方程为(x)+(y+2)= 第四天（貌似比较简单） （2）先求导 f(x)的导数=1-(2lnx)/x+2a/x=（x-2lnx+2a)/x 因为x＞0 且a≥0 所以f(x)的导数大于0 所以f(x)在(0,正无穷)上是增函数 （3）f(1)=0 只需证明：f(x)>f(1) 只需证明当x>1时单调增。 f'(x)=1-(2lnx)/x+2a/x=(2a+x-2lnx)/x 只需证明：2a+x-2lnx>0 上式左边再求导数：1-2/x,令此式为0 得到x=2时2a+x-2lnx取到最小值为： 2a+2-2ln2=2(a+1-ln2)>2(a+1-lne)=2a>=0 所以：x>1时，2a+x-2lnx>0得证。 五天（没找到原题，纯手工输入） （1）解.S1=2 S2=1 得λ=4 ∴Sn+1＝1/2Sn+2，① 当n≥2时，Sn＝1/2Sn−1+2，② ①-②得，an+1＝1/2an(n≥2) 又a2＝1/2a1 第 所以an+1＝1/2an(n∈N*) 所以{an}是首项为2，公比为1/2的等比数列， 所以an＝1/2n−2 （2）不会，求过程~~ 第六天（第二题略有区别） （Ⅰ）求曲线E的方程； （Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围． 第七天 （Ⅰ）若点F到直线l的距离为 3 ，求直线l的斜率； （Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值． 第八天（有点乱） 1. 求函数f(x),g(x)的表达式 2. 当a＞1时，求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值。 3. 当a=1/2时，不等式f(x)≥m*g(x)在x∈[1/4，1/2]上恒成立，求实数m的取值范围。 1、f‘(x)=2x-a/x，g’(x)=1/a-1/(2√x)，切线平行f’(x)=g‘(x)，则：2-a=1/a-1/2，得：a=1/2或a=2， f(x)=x^2-(lnx)/2或f(x)=x²-2lnx，g(x)=2x-√x或g(x)=x/2-√x； 2、当2x-a/x＞0，x²＞a/2时，f(x)=x^2-alnx为增函数，当1/a-1/(2√x)＞0，x＞a²/4时，g(x)=(1/a)x-√x为增函数，则a/2=(a²/4)²，a=2时，h‘(x)=f’(x)-g‘(x)=0，此时函数h(x)=f(x)-g(x)有最小值=3/2； 3、当a=1/2时，f’(x)=2x-1/2x，函数f(x)=x^2-(lnx)/2在x∈[1/4，1/2]是减函数，f(1/4)=1/16+ln2,f(1/2)=1/4+(ln2)/2；g’(x)=2-1/(2√x)，函数g(x)=2x-√x在x∈[1/4， 1/2]是增函数，f(1/4)=0,f(1/2)=1-√2/2；m≤[1/4+(ln2)/2]/(1-√2/2)=1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2,实数m的取值范围：(-∞,1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2]。 第九天（第二题不一样） (1)求证：数列｛(1/an)-1｝为等比数列 （2）记Sn=1/a1+1/a2+...+1/an,求等比数列 （3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am-1，as-1，an-1成等比数列？如果存在，请给出证明 1. a(n+1)=3an/(2an +1) 1/a(n+1)=(2an +1)/(3an) 1/a(n+1) -1=(2an +1-3an)/(3an)=(-an +1)/(3an)=(1/3)(1/an -1) [1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/3，为定值。 1/a1 -1=1/(3/5) -1=2/3 数列{1/an -1}是以1/3为首项，1/3为公比的等比数列。 (2) 1/an -1=(2/3)×(1/3)^(n-1)=2/3ⁿ 1/an =1+ 2/3ⁿ Sn=1/a1+1/a2+...+1/an =n +2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ) =n+2×(1/3)×(1-1/3ⁿ)/(1-1/3) =n +1 -1/3ⁿ 3. 不存在。 假设存在时： 因为a1=3/5,an+1=(3an)/(2an+1) 所以1/(an+1)=(2an+1)/(3an)=2/3+1/(3an) 设bn=1/an,则bn+1=2/3+1/3*bn 设(bn+1)+x=1/3*((bn)+x) 化简得：bn+1=1/3*bn-2/3*x 所以-2/3*x=2/3,x=-1 所以(bn+1)-1=1/3*((bn)-1) 所以((bn+1)-1)/((bn)-1)=1/3 因为b1-1=1/a1-1=5/3-1=2/3 所以{bn}成等比数列，其首项是2/3，公比是1/3 所以bn=2/3*(1/3)^(n-1)=2*(1/3)^n=1/an 所以an=1/2*3^n 因为m,s,n成等差数列 所以2s=m+n 所以(as-1)*(as-1)=(am-1)(an-1) 将上式转化得：(3/2)^[0.5(m+n)-1]=(3/2)^(m+n-2) 所以0.5(m+n)-1=m+n-2，0.5(m+n)=1,m+n=2 因为n,m都是整数 所以只能是m=n=1 又因为此与题设条件m≠n不符 第十天 （1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值； （2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，求实数a的取值范围． 十一 （1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程； （2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标． 十二 1. 判断函数F1的单调性 2.若m<-2, 求函数F(X)=F1(X)+F2(X)(x属于[-2,2])的最值. 3.设函数g（x）=f1（x），x>=2；g（x）=f2（x）。当m>=2时，若对于任意的x1属于【2，正无穷）总存在唯一的x2属于（负无穷，2），使得g（x1）=g（x2）成立，求m范围 1.F1'(x)=m(-x^2+4)/(2x^2+16)^2 分m>0,m<0两种情况讨论单调性,对. m<0时,F1'(x)在(-无穷,-2)和(2,+无穷)单调递增,在(-2,2)单调递减 x=-2有极大值,x=2有极小值. 2.m<-2,-2
F(x)=mx/(4x^2+16)+(1/2)^(x-m)
由1知,在(-2,2),F1(x)是减函数,F2(x)是减函数 所以F(x)在(-2,2)是减函数 F(x)max=F(-2)=-m/16+2^(2+m) F(x)min=F(2)=m/16+2^(-2+m)
3. f ₁(x)=mx/(4x^2+16),x>=2 f₂(x)=1/2)^|x-m|,x≤2 x1∈【2，正无穷）
g(x1)=mx1/(4x1^2+16)=m/(4x1+16/x1) 4x1+16/x1≥2√(4x1*16/x1)=16 当4x1=16/x1==>x1=2取等号 ∴g(x1)≤m/16
g(x1)的值域为（0，m/16） ∵x2<2 ,m>=2
g(x2)=(1/2)^|x2-m|=(1/2)^(m-x2)=2^(x2-m) g(x2)是（负无穷，2）上的增函数，
g(x2)∈（0，2^(2-m)）
∵对于任意的x1属于【2，正无穷）总存在唯一 的x2属于(-∞，2),使得g(x1)=g(x2)成立 ∴（0，m/16]是(0，2^(2-m)）的子集 ∴m/16＜2^(2-m) ,
即m<2^(6-m) ==> m＜4 (∵m=4时，m=2^(6-m) ）
又m≥2 ∴2≤m<4
第十三天（没找到。。。）
求过程
第十四（第二小题是凑出来的 正确率。。。）
1求椭圆C1的标准方程
2（2）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M、N。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。
1. 代入A(1,0)
0+1^2/b^2=1 b^2=1
离心率=√3/2=√(a^2-b^2)/a=√(a^2-1)/a 两边平方3/4=(a^2-1)/a^2
a^2=4
椭圆C1的标准方程：y^2/4+x^2=1
十五（只找到第一题） 解：∵a1+2a2+3a3+…+nan=n2，
当n≥2时，a1+2a2+…+（n-1）an-1=（n-1）2 两式相减可得，nan=n2-（n-1）2=2n-1（n≥2） n=1时，a1=1适合上式 ∴an＝ 2n−1 n
故答案为：an＝ 2n−1 n
十六（没找到第三题） （1）求函数g（x）的极值； （2）已知x1＞0，函数h(x)＝ f(x)−f(x1) x−x1
，x∈（x1，+∞），判断并证明h（x）的单调性．
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b8d14df0ae51f01dc281e53a580216fc700a53b1.html