考点四：小船渡河模型 1.(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求： (1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？ 答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m. d200解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝50 s. v船4(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200 m，应使v合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与v水21河岸成α角，有 cos α＝＝＝，解得α＝60°. v船422、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求： (1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 905 m (2)船头向上游偏30° 243 s 180 m 3、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行.试分析： (1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？ (2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？ 解析 (1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短.设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸，不影响渡d河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t＝. v1sin α显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示. d100渡河的最短时间tmin＝＝ s＝25 s船的位移为l＝v 21＋v 22tmin＝42＋32×25 m＝125 m v14船渡过河时到达正对岸的下游A处，其顺水漂流的位移为x＝v2tmin＝3×25 m＝75 m. (2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且v233与河岸成θ角，如图所示，则cos θ＝＝，θ＝arccos . v144d1001007船的实际速度为v合＝v 21－v 22＝42－32 m/s＝7 m/s 故渡河时间：t′＝＝ s＝ s. v合771007答案 （1）t=25s，x=75m，l=125m（2）t=s 74、河宽60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，则： (1)它渡河的最短时间是多少？ (2)最短航程是多少？ 答案 (1)20 s (2)120 m 5．(单选)一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船( )． 答案 C A．能到达正对岸 B．渡河的时间可能少于50 s 1 C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m 6.一只小船在静水中的速度为5 m/s，它要渡过一条宽为50 m的河，河水流速为4 m/s，则( ) 答案 C A.这只船过河位移不可能为50 m B.这只船过河时间不可能为10 s C.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变 D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变 7.(运动的合成和分解)某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系如图所示.船在静水中的速度为4 m/s，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是( ) 答案 AD A.船在航行过程中，船头应与河岸垂直 B.船在河水中航行的轨迹是一条直线 C.渡河的最短时间为240 s D.船离开河岸400 m时的速度大小为25 m/s 8． (多选)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( ) 答案 AC A．越接近河岸水流速度越小 B．越接近河岸水流速度越大 C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短 D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响 9． (单选)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( ) 答案 B kvvkvvA. B. C. D. k2－11－k21－k2k2－1ddt1解析 设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝，回程渡河所用时间t2＝.由题知＝k，联立以上各式v0t2v 20－v2得v0＝，选项B正确，选项A、C、D错误． 1－k2v10. （单选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河，河宽为H，河水流速为u，划船速度23H为v，出发时两船相距3，甲、乙船头均与岸边成60角，且乙船恰好能直A 达对岸的A点，则下列判断正确的是（ D ） A．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B．两船可能在未到达对岸前相遇 乙 甲 C．甲船在A点右侧靠岸 D．甲船也在A点靠岸 11.如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求： (1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小； (2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值． 答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s 解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速v度v2的大小：v2＝v2＋v 21＝42＋32 m/s＝5 m/s，设v与v2的夹角为θ，则cos θ＝＝0.8.(2)熄火前，船的v2牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，2 当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则vmin＝v1cos θ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s. 12.如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动.若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点.求： (1)小船在静水中的速度v1的大小； (2)河水的流速v2的大小； (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD. 答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m d120解析 (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s. tmin60×8(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2dd＝v1cos α，此时渡河时间为t＝，所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s. v1sin αv1t(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m. 3 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/eddea6ee6237ee06eff9aef8941ea76e58fa4aa8.html