高考数学导数题|2017年高考数学导数的应用必考知识点

一、函数的单调性
　　在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
　　f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数.
　　f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数.
　　1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分
　　不必要条件.
　　2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.
　　3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.
　　二、函数的极值
　　1、函数的极小值：
　　函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
　　2、函数的极大值：
　　函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
　　极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
　　三、函数的最值
　　1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有值与最小值.
　　2、
　　若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的值，f(b)为函数的最小值.
　　四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法
　　1、确定函数f(x)的定义域;
　　2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;
　　3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
　　4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
　　五、求函数极值的步骤
　　1、确定函数的定义域;
　　2、求方程f′(x)=0的根;
　　3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;
　　4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况.
　　六、求函数f(x)在[a，b]上的值和最小值的步骤
　　1、求函数在(a，b)内的极值;
　　2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);
　　3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中的一个为值，最小的一个为最小值.

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