[简单有趣的数学游戏]介绍10个有趣的数学游戏

　　【#能力训练# 导语】数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？©文档大全网分享的这篇文章精心选择了10个老少咸宜的算术问题，以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角。不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识，触及到数学的各个领域。详细的内容欢迎继续往下阅读。

　　一

　　数字黑洞6174

　　任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7步以内必然会得到6174。

　　例如，选择四位数6767：

　　7766-6677=1089

　　9810-0189=9621

　　9621-1269=8352

　　8532-2358=6174

　　7641-1467=6174

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　　6174这个“黑洞”就叫做Kaprekar常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。

　　二

　　3x+1问题

　　从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。你会发现，序列最终总会变成4,2,1,4,2,1,…的循环。

　　例如，所选的数是67，根据上面的规则可以依次得到：

　　67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,

　　52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...

　　数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421陷阱”。但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成4,2,1循环呢？

　　这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从3x+1问题的各种别名看出来：3x+1问题又叫Collatz猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做3x+1问题算了。

　　直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。

　　三

　　特殊两位数乘法的速算

　　如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作AB和AC，那么它们的乘积的前两位就是A和A+1的乘积，后两位就是B和C的乘积。

　　比如，47和43的十位数相同，个位数之和为10，因而它们乘积的前两位就是4×(4+1)=20，后两位就是7×3=21。也就是说，47×43=2021。

　　类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。

　　这个速算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x+1)+y(10-y)对任意x和y都成立。

　　四

　　幻方中的幻“方”

　　一个“三阶幻方”是指把数字1到9填入3×3的方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于15。

　　大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有

　　8162+3572+4922=6182+7532+2942

　　利用线性代数，我们可以证明这个结论。

　　五

　　天然形成的幻方

　　从1/19到18/19这18个分数的小数循环节长度都是18。把这18个循环节排成一个18×18的数字阵，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是81（注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字）。

　　六

　　196算法

　　一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是67，两步就可以得到一个回文数484：

　　67+76=143

　　143+341=484

　　把69变成一个回文数则需要四步：

　　69+96=165

　　165+561=726

　　726+627=1353

　　1353+3531=4884

　　89的“回文数之路”则特别长，要到第24步才会得到第一个回文数，8813200023188。

　　大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了3亿多位数，都没有产生过一次回文数。从196出发，究竟能否加出回文数来？196究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。

　　七

　　Farey序列

　　选取一个正整数n。把所有分母不超过n的最简分数找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做Farey序列。例如，下面展示的就是n=7时的Farey序列。

　　定理：在Farey序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1！

　　这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助Pick定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题！

　　八

　　的解

　　经典数字谜题：用1到9组成一个九位数，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。

　　没错，真的有这样猛的数：381654729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也能利用计算机编程找到。

　　另一个有趣的事实是，在所有由1到9所组成的362880个不同的九位数中，381654729是一个满足要求的数！

　　九

　　数在变，数字不变

　　123456789的两倍是246913578，正好又是一个由1到9组成的数字。

　　246913578的两倍是493827156，正好又是一个由1到9组成的数字。

　　把493827156再翻一倍，987654312，依旧恰好由数字1到9组成的。

　　把987654312再翻一倍的话，将会得到一个10位数1975308624，它里面仍然没有重复数字，恰好由0到9这10个数字组成。

　　再把1975308624翻一倍，这个数将变成3950617248，依旧是由0到9组成的。

　　不过，这个规律却并不会一直持续下去。继续把3950617248翻一倍将会得到7901234496，第一次出现了例外。

　　十

　　三个神奇的分数

　　1/49化成小数后等于0.0204081632…，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。

　　100/9899等于0.01010203050813213455…，两位两位断开后，每一个数正好都是前两个数之和（也即Fibonacci数列）。

　　而100/9801=0.0102030405060708091011121314151617181920212223…

　　利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。

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