九年级第一次月考数学试卷分析_九年级上学期月考数学试卷带答案

一、选择题（每题4分，40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（）
A． B． y=x2﹣（x﹣1）2 C． D．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义逐一进行判断．
解答： 解：A、等式的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
B、原式化简后可得，y=2x﹣1，故本选项错误；
C、符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、分母中含有未知数，不是整式方程，因而不是一元二次方程，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的定义，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的次数是2．
2．把方程（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）
A． 5x2﹣4x﹣4=0 B． x2﹣5=0 C． 5x2﹣2x+1=0 D． 5x2﹣4x+6=0
考点： 一元二次方程的一般形式．
分析： 先把（x﹣ ）（x+ ）转化为x2﹣ 2=x2﹣5；
然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．
再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．
解答： 解：
（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0
即x2﹣ 2+4x2﹣4x+1=0
移项合并同类项得：5 x2﹣4x﹣4=0
故选：A．
点评： 本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化简成为一元二次方程的一般形式．
3．抛物线y= x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）
A． y= x2+2x﹣2 B． y= x2+2x+1 C． y= x2﹣2x﹣1 D． y= x2﹣2x+1
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 由于抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则x'=x﹣2，y'=y﹣1，代入原抛物线方程即可得平移后的方程．
解答： 解：由题意得： ，
代入原抛物线方程得：y'+1= （x'+2）2，
变形得：y= x2+2x+1．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数图象的几何变换，重点 是找出平移变换的关系．
4．将一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正确的是（）
A． （x﹣ ）2=16 B． 2（x﹣ ）2= C． （x﹣ ）2= D． 以上都不对
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 方程移项后，方程两边除以2变形得到结果，即可判定．
解答： 解：方程移项得：2x2﹣3x=﹣1，
方程两边除以2得：x2﹣ x=﹣ ，
配方得：x2﹣ x+ = ，即（x﹣ ）2= ，
故选C．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）
A． 11 B． 17 C． 17或19 D． 19
考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
分析： 易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解答： 解：解方程x2﹣14x+48=0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，
2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．故选D．
点评： 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
6．已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）
A． 一，二，三象限 B． 一，二，四象限
C． 一，三，四象限 D． 一，二，三，四象限
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由a＞0可以得到开口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出对称轴x=﹣ ＞0，由c=0可以得到此函数过原点，由此即可确定可知它的图象经过的象限．
解答： 解：∵a＞0，
∴开口方向向上，
∵b＜0，a＞0，
∴对称轴x=﹣ ＞0，
∵c=0，
∴此函数过原点．
∴它的图象经过一，二，四象限．
故选B．
点评： 此题主要考查二次函数的以下性质．
7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x， 则由题意列方程应为（）
A． 200（1+x）2=1000 B． 200+200×2x=1000
C． 200+200×3x=1000 D． 200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
解答： 解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故选：D．
点评： 考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
8．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）

A． ac+1=b B． ab+1=c C． bc+1=a D． 以上都不是
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由OA=OC可以得到点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），把点A的坐标代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，c（ac﹣b+1）=0，然后即可推出ac+1=b．
解答： 解：∵OA=OC，
∴点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），
∴把点A的坐标代入y=ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c= 0，
∴c（ac﹣b+1）=0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1=0，
∴ac+1=b．
故选A．
点评： 此题考查了点与函数的关系，解题的关键是灵活应用数形结合思想．
9．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜2，y随x的增大而减小；⑤当x=0时，y最小值为1．则其中说法正确的有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．
解答： 解：∵a=2＞，
∴抛物线开口向上，所以①正确；
∵y=2（x﹣3）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，1），所以②③错误；
当x＜3时，y随x的增大而减小，所以④错误；
当x=3时，y有最小值1，所以⑤错误．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得值 ，即顶点是抛物线的点．
10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的值是（）
A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣1
考点： 根的判别式．
分析： 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的值．
解答： 解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤ ，a≠1，
则整数a的值为0．
故选C．
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（每空4分，20分）
11．使分式 的值等于零的x的值是6．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式的值为零：分子为0，分母不为0．
解答： 解：根据题意，得
x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，且x+1≠0，
解得，x=6．
故答案是：6．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，则a+b=﹣2．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 压轴题．
分析： 由于P、Q两点的纵坐标相等，故这两点是抛物线上关于对称轴对称的两点；而抛物线y=2x2+4x﹣3的对称轴为x=﹣1，根据对称轴x= ，可求a+b的值．
解答： 解：已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，
因为点P（a，m）和Q（b，m）点的纵坐标相等，
所以，它们关于其对称轴对称，
而抛物线y=2x2+4x﹣3的对称轴为x=﹣1；
故有a+b=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于y轴对称的点坐标之间的关系．
13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于 ．
考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 先判断x2﹣x+3=0没有实数解，则两个方程的所有实数根的和就是2x2﹣3x﹣1=0的两根之和，然后根据根与系数的关系求解．
解答： 解：方程2x2﹣3x﹣1=0的两根之和为
∵x2﹣x+3=0没有实数解，
∴方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于 ．
故答案为 ．
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．
14．若关于x的方程a（x+m）2+b=0的两个根﹣1和4（a．m．b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣3）2+b=0是x1=2，x2=7．
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 先利用直接开平方法得方程a（x+m）2+b=0的解为x=﹣m± ，则﹣m+ ，=1，﹣m﹣ ，=﹣2，再解方程a（x+m﹣2）2+b=0得x=3﹣m± ，然后利用整体代入的方法得到方程a（x+m﹣3）2+b=0的根．
解答： 解：解：解方程a（x+m）2+b=0得x=﹣m± ，
∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均为常数，a≠0）的根是x1=﹣1，x2=4，
∴﹣m+ ，=﹣1，﹣m﹣ ，=4，
∵解方程a（x+m﹣3）2+b=0得x=3﹣m± ，
∴x1=3﹣1=2，x2=3+4=7．
故答案为x1=2，x2=7．
点评： 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，某学霸从下面五条信息中：
（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．准确找到了其中错误的信息，它们分别是（1）（2）（5）（只填序号）

考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系；根据抛物线与x轴交点个数判断b2﹣4ac与0的关系；由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系；根据对称轴在x=﹣1的左边判断2a﹣b与0的关系；把x=1，y=0代入y=ax2+bx+c，可判断a+b+c＜0是否成立．
解答： 解：（1）∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，故本信息正确；
（2）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
故△=b2﹣4ac＞0；
故本信息正确；
（3）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，
所以c＜1，故本信息错误；
（4）由图示，知对称轴x=﹣ ＞﹣1；
又∵a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息错误；
（5）根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，
所以a+b+c＜0，故本信息正确；
故答案为（1）（2）（5）．
点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运 用．
三、解答题
16．（16分）解方程
①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）
②x2+2x=7．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析： ①先移项，再把等号左边因式分解，最后分别解方程即可；
②先在等号左右两边加上一次项系数的一半的平方，再进行配方，然后开方即可得出答案．
解答： 解：①（5x﹣1）2=3（5x﹣1），
（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，
（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，
（5x﹣1）（5x﹣4）=0，
x1= ，x2= ；
②x2+2x=7，
x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
x+1=±2 ，
x1=﹣1+2 ，x2=﹣1﹣2 ．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（﹣2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．
解答： 解：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+1，
将B（1，0）代入y=a（x+2）2+1得，
a=﹣ ，
函数解析式为y=﹣ （x+2）2+1，
展开得y=﹣ x2﹣ x+ ．
所以该抛物线的函数解析式为y=﹣ x2﹣ x+ ．
点评： 本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．
18．若﹣3+ 是方程x2+kx+4=0的一个根，求另一根和k的值．
考点： 根与系数的关系．
分析： 设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到两根的积等于4，两根的和等于﹣k，即可求解．
解答： 解：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到：
（﹣3+ ）•m=4，且﹣3+ +m=﹣k，
解得：m=﹣3﹣ ，k=6．
即方程的另一根为﹣ 3﹣ ，k=6．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．
19．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？

考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题 ．
分析： 本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．
解答： 解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2．
将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．

点评： 本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键．
20．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 商场平均每天盈利数=每件 的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
解答： 解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．
根据题意得（45﹣x）=2100，
解得x1=10，x2=30．
因尽快减少库存，故x=30．
答：每件衬衫应降价30元．
点评： 需要注意的是：
（1）盈利下降，销售量就提高，每件盈利减，销售量就加；
（2）在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也越多，所以取降价多的那一种．
21．如图，线段AB的长为2，C为线段AB上一个动点，分别以 AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）设DE的长为y，AC的长为x，求出y与x的函数关系式；
（2）求出DE的最小值．

考点： 二次函数的应用．
分析： （1）设AC=x，则BC=2﹣x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式；
（2）利用函数的性质进行解答即可．
解答： 解：如图，

设AC=x，则BC=2﹣x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC= x，CE= （2﹣x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2= x2+ （2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣ 1）2+1，
∴y= ．
（2）y=
当x=1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．
点评： 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．
22．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时，达到高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面高度为3.05m．

（1）建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+ 2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
解答： 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵蓝球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，
∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.2（m）．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
点评： 本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．
23．如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C在直线y=x﹣2上．
（1）求矩形各顶点坐标；
（2）若直线y=x﹣2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；
（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．

考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）由于AD=2，即C点的纵坐标为2，将其代入已知的直线解析式中，即可求得C点的横坐标，进而由AB的长，求得A、D的横坐标，由此可确定矩形的四顶点的坐标．
（2）根据直线y=x﹣2可求得E点的坐标，进而可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．
（3）根据（2）所得抛物线的解析式，即可由配方法或公式法求得其顶点坐标，进而根据矩形的四顶点坐标，来判断此顶点是否在矩形的内部．
解答： 解：（1）如答图所示 ．
∵y=x﹣2，AD=BC=2，设C点坐标为（m，2），
把C（m，2）代入y=x﹣2，
即2=m﹣2，
∴m=4，
∴C（4，2），
∴OB=4，AB=3，
∴OA=4﹣3=1，
∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．
（2）∵y=x﹣2，
∴令x=0，得y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
设经过E（0，﹣2），A（1，0），B（4，0）三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得 ；
∴y= ．
（3）抛物线顶点在矩形ABCD内部．
∵y= ，
∴顶点为 ，
∵ ，
∴顶点 在矩形ABCD内部．
点评： 此题主要考查了函数图象上点的坐标意义、矩形的性质、二次函数解析式的确定等知识，难度不大，细心求解即可．

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