[初一下册历史期中试卷及答案]数学初一下册期中试卷及答案

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列长度的各组线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．12，15，18 B．12，35，36 C．0.3，0.4，0.5 D．2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；应先认真分析所给边的大小关系，确定边后，再验证两条较小边的平方和与边的平方之间的关系，进而作出判断即可．
【解答】解：A、因为122+152≠182，所以不能组成直角三角形，故选项错误；
B、因为122+352≠362，所以不能组成直角三角形，故选项错误；
C、因为0.32+0.42=0.52，所以能组成直角三角形，故选项正确；
D、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；
故选：C．
　
2．下列实数 ，﹣ ，0. ， ， ，（ ﹣1）0，﹣ ，0.1010010001中，其中无理数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数有： ，﹣ ， 共有3个．
故选B．
　
3．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，原点滚到了点A，下列说法正确的（　　）

A．点A所表示的是π
B．OA上只有一个无理数π
C．数轴上无理数和有理数一样多
D．数轴上的有理数比无理数要多一些
【考点】实数与数轴．
【分析】首先根据圆周长公式求出圆的周长，然后结合数轴的特点即可确定A表示的数．
【解答】解：A、∵圆的周长为π，∴滚动一圈的路程即π，∴点A所表示的是π，故选项正确；
B、数轴上不只有一个无理数π，故选项错误；
C、数轴上既有无理数，也有有理数，故选项错误；
D、数轴上的有理数与无理数多少无法比较，故选项错误；
故选A．
　
4．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
　
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是（　　）
A．28° B．118° C．62° D．62°或118°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．
【解答】解：分两种情况：
①当高在三角形内部时（如图1），
∵∠ABD=28°，
∴顶角∠A=90°﹣28°=62°；
②当高在三角形外部时（如图2），
∵∠ABD=28°，
∴顶角∠CAB=90°+28°=118°．
故选D．

　
6．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
　
7．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（　　）

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB= ，然后即可确定C点的位置．
【解答】解：如图，AB= = ，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故选C．

　
8．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2015=（　　）

A．22013 B．22014 C．22015 D．22016
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1，a3=4a1=4，
a4=8a1=8，a5=16a1，
以此类推：a2015=22014．
故选B．

　
9．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P、Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度数始终等于60°；（4）当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】易证△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易证∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根据t的值易求BP，BQ的长，即可求得PQ的长，即可解题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
根据题意得：AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正确；
∴∠AQB=∠CPA，
∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，
∴∠AMP=∠B=60°，
∴∠QMC=60°，（3）正确；
∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP=CQ，
∴CM≠BP，（1）错误；
当t= 时，BQ= ，BP=4﹣ = ，

∵PQ2=BP2+BQ2﹣2BP•BQcos60°，
∴PQ= ，
∴△PBQ为直角三角形，
同理t= 时，△PBQ为直角三角形仍然成立，（4）正确；
故选 C．
　
10．如图是一张足够长的矩形纸条ABCD，以点A所在直线为折痕，折叠纸条，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点E；然后将其展平，再以点E所在直线为折痕，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F．则∠AFE的大小是（　　）

A．22.5° B．45° C．60° D．67.5°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据折叠的性质得到∠AEB=45°，继而得出∠AEC，再由折叠的性质即可得到∠AFE的度数．
【解答】解：以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E点，∠AEB=45°，

∠FEC=∠FEA= =67.5°．
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC=67.5°．
故选D．
　
二、填空题（每空2分，共16分）
11．近似数3.40×105精确到　千　位．
【考点】近似数和有效数字．
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：近似数3.40×105精确到千位．
故答案是：千．
　
12．当a2=64时， =　±2　．
【考点】立方根；算术平方根．
【分析】由于a2=64时，根据平方根的定义可以得到a=±8，再利用立方根的定义即可计算a的立方根．
【解答】解：∵a2=64，
∴a=±8．
∴ =±2．
　
13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　8　．

【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD= = =8．
故答案是：8．
　
14．一个正数的平方根为﹣m﹣3和2m﹣3，则这个数为　81　．
【考点】平方根．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，即可得到一个关于x的方程，即可求得x，进而求得所求的正数．
【解答】解：根据题意得：（﹣m﹣3）+（2m﹣3）=0，
解得：m=6，
则这个数是：（﹣3﹣6）2=81．
故答案是：81．
　
15．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=　45　°．

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= = =67.5°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵EF= BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴BF=EF=CF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．
故答案为：45．

　
16．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°，∠ABE=28°，则∠ACB=　46°　．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB= ∠AFB=46°．
故答案为：46°．
　
17．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为　 　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE= ，从而求得B′D=1，DF= ，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．
【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE= ，
∴EF= ，ED=AE= ，
∴DF=EF﹣ED= ，
∴B′F= ．
故答案为： ．
　
18．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为　 　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ，
∴BD=CD′= ，
故答案为： ．

　
三、解答题（共10大题，共84分）
19．（1）计算：
（2）求x的值：5（x﹣1）2=20．
【考点】实数的运算；平方根．
【分析】此题涉及有理数的乘方、平方根、立方根的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
【解答】解：（1）
=﹣2+3﹣8
=﹣7
（2）∵5（x﹣1）2=20，
∴（x﹣1）2=4，
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2，
解得x=3或x=﹣1．
　
20．因式分解：
（1）3a5﹣12a4+9a3
（2）3a2﹣6ab+3b2﹣12c2．
【考点】因式分解﹣分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）利用提供因式法和十字相乘分式分解因式；
（2）利用提公因式法和分组分解法分解因式．
【解答】解：（1）原式=3a3（a2﹣4a+3）
=3a3（a﹣3）（a﹣1）．
（2）原式=3（a2﹣2ab+b2﹣4c2）
=3[（a﹣b）2﹣4c2]
=3（a﹣b+2c）（a﹣b﹣2c）．
　
21．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】先根据点P在∠AOB的角平分线OC上，PE⊥OB可求出PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，由全等三角形的判定定理可得出△DPF≌△EPF，进而可得出答案．
【解答】证明：∵点P在∠AOB的角平分线OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，
∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，
∴∠DPF=90°﹣∠DOP，∠EPF=90°﹣∠EOP，
∴∠DPF=∠EPF，
在△DPF和△EPF中
（SAS），
∴△DPF≌△EPF
∴DF=EF．
　
22．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小；
（2）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积；
（3）若图中的格点Q到直线BC的距离等于 ，则图中所有满足条件的格点Q有　16　个．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；点到直线的距离．
【分析】（1）找到B点对称点B′，再连接B′C交直线l于点P，即可得出答案；
（2）直接将四边形分割为两个三角形，进而求出其面积；
（3）利用勾股定理结合网格得出平行于直线BC且到直线BC的距离为 的直线，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：点P即为所求；
（2）四边形PABC的面积为： ×3×5+ ×4×1=9.5；
（3）图中所有满足条件的格点Q有：16个．
故答案为：16．

　
23．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a=6，b=5，求△ABC的面积．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）由已知条件得出b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b﹣c）（b+c+2a）=0，得出b﹣c=0，因此b=c，即可得出结论；
（2）作△ABC底边BC上的高AD．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC= BC=3，利用勾股定理求出AD= =4，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图，作△ABC底边BC上的高AD．
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=DC= BC=3，
∴AD= =4，
∴△ABC的面积= BC•AD= ×6×4=12．

　
24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．

　
25．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得：x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n，
∴ ，解得：n=﹣7，m=﹣21．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于x的多项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x+4），求另一个因式以及k的值．
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；解二元一次方程组．
【分析】（1）设另一个因式是（2x+b），则（x+4）（2x+b）=2x2+bx+8x+4b=2x2+（b+8）x+4b=2x2+3x﹣k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值；
（2）设另一个因式是（2x2+mx+n），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出b的值即可得解．
【解答】解：（1）设另一个因式是（2x+b），则
（x+4）（2x+b）=2x2+bx+8x+4b=2x2+（b+8）x+4b=2x2+3x﹣k，
则 ，
解得： ．
则另一个因式是：2x﹣5，k=20．
（2）设另一个因式是（2x2+mx+n），则
（x+2）（2x2+mx+n）=2x3+（m+4）x2+（2m+n）x+2n=2x3+5x2﹣x+b，
则 ，
解得 ．
故b的值是﹣6．
　
26．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）求证：BH=AC；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；
（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中，
，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC．
（2）连接CG，
由（1）知，DB=CD，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2﹣GE2=EA2．

　
27．如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且 ，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．

（1）求BD的长；
（2）①如图2，在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形？若能，请求出PA的长；若不能，请说明理由；
②如图3，在BC上取一点E，使EC=5，那么当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由条件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的长；
（2）①由题可知只能有∠QPC为直角，当PQ=PC时，可证得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的长；②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三种情况分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解答】解：
（1）如图1，连接BD，

∵ ，
∴AB=4，BC=6，
则在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD= =2 ；
（2）①能，AP=4，理由如下：
如图2，由图形可知∠PQC和∠PCQ不可能为直角，所以只有∠QPC=90°，则∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，
∴∠QPA=∠PCD，
当PQ=PC时，
在Rt△APQ和Rt△DCP中

∴△APQ≌△DCP（AAS），
∴AP=CD=4，
故在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形，此时AP=4；

②当PC=EC=5时，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB﹣PD=3，
当PC=PE=5时，如图3，过P作PF⊥BC交BC于点F，则FC=EF=PD= EC=2.5，所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5，
当PE=EC=5时，如图4，过E作EH⊥AD于点H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4，
综上可知当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长为3、3.5或4．

　
28．【阅读】如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．
【理解】
若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；
【尝试】
（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．

【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）先根据ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，由折叠可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD为等边三角形，∠COD=60°，根据等边三角形三线合一的性质可得出结论；
（2）根据点E四边形0ABC的边AB上可知AB⊥直线l，根据由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45°，AB⊥直线l，得出△ADE为等腰直角三角形，故可得出OA的长，由此可得出结论．
【解答】解：（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F．
在△BCD与△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，
∴OD= CF=CD．
又由折叠可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°，
∴θ= ∠COD=30°；
（2）∵点E四边形0ABC的边AB上，
∴AB⊥直线l
由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．
∵θ=45°，AB⊥直线l，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5；
由图可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．

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