[2015学年度第一学期初三年级数学期中试卷]初三年级第一学期数学知识点苏教版

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  【一元二次方程】

  (一)列一元一次方程解应用题得方法步骤

  列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展,两者的解题方法类似,但由于一元二次方程有两个实数解,所以要注意检验得出的方程的解是否符合实际意义.

  其步骤如下:

  (1)审:读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系.

  (2)设:选用适当的方式设未知数(直接设未知数或间接设未知数),不要漏写单位,用含未知数的代数式表示题目中涉及的量.

  (3)列:根据题目中的等量关系,用含未知数的代数式表示其他未知数,列出含未知数的等式.注意等号两边量的单位必须一致.

  (4)解:解所列方程,求出未知数的值.

  (5)验:一是检验得到的未知数的值是否为方程的解,二是检验方程的解是否符合题意.

  (6)答:怎么问就怎么答,注意不要漏写单位.

  (二)主要题型

  列一元二次方程解应用题在日常生活、生产、科技等方面有着广泛的应用,如增长率(降低率)问题、利息问题、数字问题、利润问题、动点问题等.

  方法技巧

  (一)增长率(降低率)问题的解题方法

  (1)增长量=原产量×增长率;(2)增产后的产量=原产量×(1+增长率).

  点拨

  增长率问题:若设基数为,平均增长率为,则增长次后的值为.

  (二)利息问题的解题方法

  解答此类问题的关键是理解实际生活中的一些概念,如本金、利率、利息等.

  注意

  对于存款利息问题,解题时一定要注意每次增长的基础量是否相同.

  【用配方法求解一元二次方程】

  1、配方法

  所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

  2、配方法的应用

  对所有一元二次方程都适用,但特别对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。

  【配方法】

  一般步骤:

  第一步:使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;

  第二步:方程两边同时除以二次项系数;

  第三步:方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为的形式;

  第四步:用直接开平方解变形后的方程.

  课后习题

  用配方法解下列方程

  1.x2-2x-3=0

  2.2x2+12x+10=0

  3.x2-4x+3=0

  4.x2/4+x-3=0

  5.9x2-6x-8=0

  6.x2+12x-15=0

  7.2x2+1=3x

  8.3x2-6x+4=0

  9.3x2+6x-4=0

  10.4x2-6x-3=0

  配方技巧

  一:公式法

  利用一些现有公式对某一类型的代数式直接配方

  如:a2+2ab+b2=(a+b)2

  a2-2ab+b2=(a-b)2

  a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2

  二:函数法

  数学中的很多东西都是交集的,对于某些特定的二次函数(只有一个顶点,且该定点在x轴上),令其顶点坐标为(a,0),则该函数对应的关于自变量的代数式就可以配方为(x-a)2

  配方法

  对于代数式x2-2x+1可以配方为(x-1)2

  【用公式法求解一元二次方程】

  步骤

  1.化方程为一般式:ax2+bx+c=0(a≠0)

  2.确定判别式,计算Δ。Δ=b2-4ac;

  3.若Δ>0,该方程在实数域内有两个不相等的实数根:x=[-b±√Δ]]/2a。

  若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x1=x2=-b/2a;

  若Δ<0,该方程在实数域内无实数根,但在虚数域内解为x=-b±√(b平方-4ac)/2a。

  判别式

  一般的,式子b^2-4ac叫做方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的判别式,通常用希腊字母Δ表示它,即Δ=b^2-4ac

  求根公式

  当Δ≥0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=(-b±√b^2-4ac)/2a的形式,这个式子叫做一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,由求根公式可知,一元二次方程的根不可能多于两个。

  注意事项

  一定不会出现不能用公式法解一元二次方程的情况。(所谓“一元二次方程万能公式”)

  但在能直接开方或者因式分解时用直接开方法和分解因式法。

  适用于初中阶段。

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