高二数学必修五不等式教学视频:高二数学必修5第三章不等式章末训练题精选（含解析）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，则a的取值范围是(　　)
A.a<0或a>2 B.0
答案　B
2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为x|-2
A.-18 B.8 C.-13 D.1
答案　C
解析　∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.
∴-2+-14=-ba-2×-14=-2a，∴a=-4b=-9.
∴a+b=-13.
3.如果a∈R，且a2+a<0，那么a，a2，-a，-a2的大小关系是(　　)
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
答案　B
解析　∵a2+a<0，∴a(a+1)<0，
∴-1a2>-a2>a.
4.不等式1x<12的解集是(　　)
A.(-∞，2) B.(2，+∞)
C.(0,2) D.(-∞，0)∪(2，+∞)
答案　D
解析　1x<12⇔1x-12<0⇔2-x2x<0
⇔x-22x>0⇔x<0或x>2.
5.设变量x，y满足约束条件x+y≤3，x-y≥-1，y≥1，则目标函数z=4x+2y的值为(　　)
A.12 B.10 C.8 D.2
答案　B
解析　画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，
作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2.
解方程组x+y=3，y=1得A(2,1)，∴zmax=10.
6.已知a、b、c满足c
A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ab2>cb2 D.ac(a-c)<0
答案　C
解析　∵c0，c<0.
而b与0的大小不确定，在选项C中，若b=0，则ab2>cb2不成立.
7.已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则M∩N为(　　)
A.{x|-4≤x<-2或3
B.{x|-4
C.{x|x≤-2或x>3}
D.{x|x<-2或x≥3}
答案　A
解析　∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}，
N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3}，
∴M∩N={x|-4≤x<-2或3
8.在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y)，若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立，则(　　)
A.-1
答案　C
解析　(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1⇔-x2+x+(a2-a-1)<0恒成立
⇔Δ=1+4(a2-a-1)<0⇔-12
9.在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)
A.y=x+1x
B.y=cos x+1cos x (0
C.y=x2+3x2+2
D.y=ex+4ex-2
答案　D
解析　选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤-2;
选项B中，cos x≠1，故最小值不等于2;
选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，
当x=0时，ymin=322.
选项D中，ex+4ex-2>2ex•4ex-2=2，
当且仅当ex=2，
即x=ln 2时，ymin=2，适合.
10.若x，y满足约束条件x+y≥1x-y≥-12x-y≤2，目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)
A.(-1,2) B.(-4,2) C.(-4,0] D.(-2,4)
答案　B
解析　作出可行域如图所示，
直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知-1<-a2<2，
即-4
11.若x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，则x+y的最小值为(　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
答案　D
解析　由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，
∵x>0，y>0，∴x-8>0，得到y=2xx-8，
则μ=x+y=x+2xx-8=x+2x-16+16x-8
=(x-8)+16x-8+10≥2x-8•16x-8+10=18，
当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取“=”.12.若实数x，y满足x-y+1≤0，x>0，则yx-1的取值范围是(　　)
A.(-1,1)
B.(-∞，-1)∪(1，+∞)
C.(-∞，-1)
D.[1，+∞)
答案　B
解析　可行域如图阴影，yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-1>1或yx-1<-1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13.若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A、B的大小关系为________.
答案　A
14.不等式x-1x2-x-30>0的解集是
________________________________________________________________________.
答案　{x|-56}
15.如果a>b，给出下列不等式：
①1a<1b;②a3>b3;③a2>b2;④2ac2>2bc2;
⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.
其中一定成立的不等式的序号是________.
答案　②⑥
解析　①若a>0，b<0，则1a>1b，故①不成立;
②∵y=x3在x∈R上单调递增，且a>b.
∴a3>b3，故②成立;
③取a=0，b=-1，知③不成立;
④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，
故④不成立;
⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立;
⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)
=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0，
∴a2+b2+1>ab+a+b，故⑥成立.
16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时.
答案　8
解析　这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t=400+16v202v=400v+16v400≥2 400v×16v400=8(小时)，
当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成立，
此时t=8小时.
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R.
解　(1)由题意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根，
∴1-a<041-a=-261-a=-3，解得a=3.
∴不等式2x2+(2-a)x-a>0
即为2x2-x-3>0，解得x<-1或x>32.
∴所求不等式的解集为x|x<-1或x>32.
(2)ax2+bx+3≥0，即为3x2+bx+3≥0，
若此不等式解集为R，则b2-4×3×3≤0，∴-6≤b≤6.
18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.
解　原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0，
即x+a7x-a8<0.
①当-a70时，-a7
②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为∅;
③当-a7>a8，即a<0时，a8
综上知，当a>0时，原不等式的解集为x|-a7
当a=0时，原不等式的解集为∅;
当a<0时，原不等式的解集为x|a8
19.(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
证明　∵a4+b4≥2a2b2，b4+c4≥2b2c2，
c4+a4≥2c2a2，
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又a2b2+b2c2≥2ab2c，b2c2+c2a2≥2abc2，
c2a2+a2b2≥2a2bc.
∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc)，
即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
20.(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的盈利率分别为100%和50%，可能的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利?
解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y≤10，0.3x+0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域.
作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.
解方程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，
得x=4，y=6，此时z=1×4+0.5×6=7(万元).
∵7>0，∴当x=4，y=6时，z取得值.
答　投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利.
21.(12分)设a∈R，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0
解　设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.
因为x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，
且0
所以f0>0，f1<0，f2>0⇒a2-a-2>0，7-a+13+a2-a-2<0，28-2a+13+a2-a-2>0
⇒a2-a-2>0，a2-2a-8<0，a2-3a>0⇒a<-1或a>2，-23
⇒-2
所以a的取值范围是{a|-2
22.(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用?写出你的结论，并说明理由.
解　(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分36x批，每批价值20x.
由题意f(x)=36x•4+k•20x，
由x=4时，y=52，得k=1680=15.
∴f(x)=144x+4x (0
(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0
∴f(x)≥2144x•4x=48(元).
当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.

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