【#高二# 导语】数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。®文档大全网为大家推荐了数学高二寒假自主学习作业本,请大家仔细阅读,希望你喜欢。
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知直线l1,l2与平面α,有下列说法:
①若l1∥α,l1∥l2,则l2∥α;②l1 α,l2∩α=A,则l1与l2为异面直线;③若l1⊥α,l2⊥α,则l1∥l2;④若l1⊥l2,l1∥α,则l2∥α.
其中正确的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选B.①错,因为l2还可能在α内.②错,当A∈l1时,l1∩l2=A.③对,是线面垂直的性质定理.④错,l2与α的位置关系不确定.
2.(2014•松原高一检测)BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,PD⊥BC于点D,连接AD,则图中共有直角三角形的个数
是( )
A.8 B.7
C.6 D.5
【解析】选A.因为AP⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC,又PD⊥BC于D,PD∩PA=P,
所以BC⊥平面PAD,AD 平面PAD,所以BC⊥AD.
又BC是Rt△ABC的斜边,所以∠BAC为直角.
所以图中的直角三角形有:△ABC,△PAC,△PAB,△PAD,△PDC,△PDB,
△ADC,△ADB.
3.在空间中,下列说法正确的有( )
①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一平面的两条直线互相平行;
④两条异面直线不可能垂直于同一平面.
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.由公理4知①正确,由线面垂直的性质定理知④正确.对于②,空间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都有可能.对③中的两条平行于同一个平面的直线,其位置关系不确定.
4.(2013•广东高考)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列说法中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】选B.对于选项A,两个平面α,β平行于同一条直线,不能确定两平面平行还是相交(若两平面相交能确定与交线平行);对于选项B,垂直于同一条直线的两个平面平行(直线是公垂线);对于选项C,能推出两个平面相交且两个平面垂直;对于选项D,l∥β,l⊥β,l β都可能.
5.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
【解析】选C.
因为△ABC为直角三角形,M为斜边AB的中点,
所以MA=MB=MC,
因为PM垂直于△ABC所在平面,
所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC,
所以PA=PB=PC .
【变式训练】已知直线PG⊥平面α于G,直线EF α,且PF⊥EF于F,那么线段PE,PF,PG的关系是( )
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
【解析】选C.在Rt△PFE中,PE>PF;在Rt△PFG中,PF>PG,所以PE>PF>PG.
6.(2014•吉安高二检测)如图,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α.垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A.AC⊥β
B.AC⊥EF
C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D.AC与α,β所成的角相等
【解析】选D.对于A.若AC⊥β,EF β,则AC⊥EF.
又AB⊥α,EF α,则AB⊥EF,AB⊥α,CD⊥α,
所以AB∥CD,
故ABDC确定一个平面,又AC∩AB=A,
所以EF⊥平面ABDC,
BD 平面ABDC,所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.对于选项C.由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上,所以平面ABDC与平面β垂直,又因为EF⊥AB,所以EF⊥平面ABDC,所以EF⊥BD.对于D,若AC∥EF,则AC与α,β所成的角也相等,但不能推出BD⊥EF.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014•无锡高二检测)已知直线m 平面α,直线n 平面α,m∩n=M,直线a⊥m,a⊥n,直线b⊥m,b⊥n,则直线a,b的位置关系是________.
【解析】因为直线a⊥m,a⊥n,直线m 平面α,直线n 平面α,m∩n=M,所以a⊥α.同理可证直线b⊥α,所以a∥b.
答案:a∥b
8.若三个平面两两垂直,它们交于一点A,空间一点C1到三个平面的距离分别为5,6,7,则AC1的长为________.
【解析】如图构造长方体,可知长方体的长、宽、高分别为7,6,5,AC1为体对角线,所以AC1= = .
答案:
9.AB是☉O的直径,点C是☉O上的动点(点C不与A,B重合),过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点,则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号).
(1)直线DE∥平面ABC.
(2)直线DE⊥平面VBC.
(3)DE⊥VB.
(4)DE⊥AB.
【解析】因为AB是☉O的直径,点C是☉O上的动点(点C不与A,B重合),
所以AC⊥BC,
因为VC垂直于☉O所在的平面,
所以AC⊥VC,又BC∩VC=C,
所以AC⊥平面VBC.
因为D,E分别是VA,VC的中点,
所以DE∥AC,又DE⊈平面ABC,AC 平面ABC,
所以DE∥平面ABC,
DE⊥平面VBC,DE⊥VB,
DE与AB所成的角为∠BAC是锐角,故DE⊥AB不成立.
由以上分析可知(1)(2)(3)正确.
答案:(1)(2)(3)
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014•开封高一检测)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)求证:AB⊥A1C.
(2)若AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
【解析】(1)如图,
取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C 平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,
所以OC=OA1= .
又A1C= ,则A1C2=OC2+O ,故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,所以OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC= ,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1= × =3.
11.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1= ,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面A1B.
(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点,
所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D 平面A1B1C1,
所以AA1⊥C1D,又AA1∩A1B1=A1,
所以C1D⊥平面A1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F即为所求.
证明:因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1 平面AA1B1B,
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,
所以AB1⊥平面C1DF.
【变式训练】如图所示,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.
【证明】因为SA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以SA⊥BC,又因为BC⊥AB,
SA∩AB=A,
所以BC⊥平面SAB,
又AE 平面SAB,所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.
又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,
所以AE⊥SB.
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