初中奥数几何难题:初中奥数几何证明面积法应用

面积法在几何问题的求解中应用非常广泛，学会正确地使用面积法，能解决平面几何的绝大部分问题. 平面几何中的面积公式以及有关的性质定理，不仅可用于计算面积，还可用于几何证明. 运用面积关系及有关的性质定理来证明或计算几何问题的方法，称为面积法.面积法较其他方法有思路清晰、直观简捷、联系广泛、规律性强等特点，它是几何证明中的一种常用方法.众所周知平面几何证明题的难处是辅助线的添加.而面积法的特点是把已知和未知量用面积公式及有关的性质定理联系起来，从而把几何关系转变为数量关系，通过数量运算来得到求证结果，所以用面积法进行几何证明时，有时可以不添置辅助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到.初中常用的面积定理有: 1. 两个全等形的面积相等. 2. 一个图形的面积等于它的各部分面积的和. 3. 等底等高的两个三角形面积相等. 4. 等底(或等高)的两个三角形面积之比等于该底上的高(或对应边)之比. 5. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 6. 与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半.下面通过具体的实例说明面积法在初中数学几何证明中的应用.
一、 求证线段相等或不等
例1在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
求证：BD=CE.
证明△ABC中，
AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
则S=AB•CE=AC•BD
而AB=AC
∴ CE=BD
本题通过对同一图形从不同的角度利用面积公式，从而直接得出了CE和BD的关系，思路清晰，方法直观简捷.　二、 求证线段的和或差
例2在△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，BD=DC，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F. 求证：PE+PF=AB.
证明连接PD，
则S△PBD+S△PCD=S△BCD
即：BD•PE+CD•PF=CD•AB
∵ BD=DC
∴ PE+PF=AB
本题将△BDC分割为△BDP和△PDC，利用一个图形的面积等于它的各部分面积的和建立面积关系，从而巧妙地得出PE+PF=AB的结论.
三、 求证两角相等
例3 C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O，连接OC.
求证：∠AOC=∠BOC.
证明过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q.
∵ △ACD、△BCE都是等边三角形，
∴ AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
∴ ∠ACE=∠DCB
∴ △ACE≌△DCB
∴ AE=BD，S△ACE=S△DCB
可得CP=CQ
∴ OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
本题从不同角度发掘了三角形之间的位置关系，通过等边三角形的边角关系和等底三角形面积相等时高必等，从而由几何关系转变为数量关系，很容易推出CP=CQ，再利用到角两边距离相等的点在角平分上，得出∠AOC=∠BOC，整个过程思路清晰.

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