2017年高考数学答案|2017高考数学专练及答案:圆锥曲线的定点定值与最值

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一、选择题

  1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有(  )

  A.|FP1|+|FP2|=|FP3|

  B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

  C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|

  D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

  答案:C 解题思路:抛物线的准线方程为x=-,由定义得|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,则|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p,2|FP2|=2x2+p,由2x2=x1+x3,得2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故选C.

  2.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为(  )

  A.4    B.2   C.2    D.

  答案:C 命题立意:本题考查直线与抛物线及圆的位置关系的应用,难度中等.

  解题思路:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0,因为直线与抛物线相切,故Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2),因此过A,B两点最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.

  3.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(  )

  A.y2=9x   B.y2=6x

  C.y2=3x   D.y2=x

  答案:C 命题立意:本题考查抛物线定义的应用及抛物线方程的求解,难度中等.

  解题思路:如图,分别过点A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为E,D,由抛物线定义可知|AE|=|AF|=3,|BC|=2|BF|=2|BD|,在RtBDC中,可知BCD=30°,故在RtACE中,可得|AC|=2|AE|=6,故|CF|=3,则GF即为ACE的中位线,故|GF|=p==,因此抛物线方程为y2=2px=3x.

  4.焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F,右顶点为A,若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是(  )

  A.(1,3) B.(1,3]

  C.(3,+∞) D.[3,+∞)

  答案:D 命题立意:本题主要考查双曲线的离心率问题,考查考生的化归与转化能力.

  解题思路:设AF的中点C(xC,0),由题意xC≤-a,即≤-a,解得e=≥3,故选D.

  5.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取值时,直线l的斜率等于(  )

  A. B.- C.± D.-

  答案:B 命题透析:本题考查直线与圆的位置关系以及数形结合的数学思想.

  思路点拨:由y=,得x2+y2=1(y≥0),即该曲线表示圆心在原点,半径为1的上半圆,如图所示.

  故SAOB=|OA||OB|·sin AOB=sin AOB,所以当sin AOB=1,即OAOB时,SAOB取得值,此时O到直线l的距离d=|OA|sin 45°=.设此时直线l的方程为y=k(x-),即kx-y-k=0,则有=,解得k=±,由图可知直线l的倾斜角为钝角,故k=-.

  6.点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“正点”,那么下列结论中正确的是(  )

  A.直线l上的所有点都是“正点”

  B.直线l上仅有有限个点是“正点”

  C.直线l上的所有点都不是“正点”

  D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“正点”

  答案:A 解题思路:本题考查直线与抛物线的定义.设A(m,n),P(x,x-1),则B(2m-x,2n-x+1), A,B在y=x2上, n=m2,2n-x+1=(2m-x)2,消去n,整理得关于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0, Δ=8m2-8m+5>0恒成立, 方程恒有实数解.

  二、填空题

  7.设A,B为双曲线-=1(b>a>0)上两点,O为坐标原点.若OAOB,则AOB面积的最小值为________.

  答案: 解题思路:设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x,则点A(x1,y1)满足故x=,y=,

  |OA|2=x+y=;

  同理|OB|2=.

  故|OA|2·|OB|2=·=.

  =≤(当且仅当k=±1时,取等号), |OA|2·|OB|2≥,

  又b>a>0,

  故SAOB=|OA|·|OB|的最小值为.

  8.已知直线y=x与双曲线-=1交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPA·kPB=________.

  答案: 解题思路:设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由得y2=,y1+y2=0,y1y2=-,

  x1+x2=0,x1x2=-4×.

  由kPA·kPB=·====知kPA·kPB为定值.

  9.设平面区域D是由双曲线y2-=1的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x,y)D,则目标函数z=x+y的值为______.

  答案:

  3 解题思路:本题考查双曲线、抛物线的性质以及线性规划.双曲线y2-=1的两条渐近线为y=±x,抛物线y2=-8x的准线为x=2,当直线y=-x+z过点A(2,1)时,zmax=3.

  三、解答题

  10.已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线与抛物线交于A,B两点,且直线与x轴交于点C.

  (1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;

  (2)设=α,=β,试问α+β是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

  解析:(1)证明:设直线的方程为:y=kx+2(k≠0),

  联立方程可得得

  k2x2+(4k-4)x+4=0.

  设A(x1,y1),B(x2,y2),C,

  则x1+x2=-,x1x2=,

  |MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=,

  而|MC|2=2=,

  |MC|2=|MA|·|MB|≠0,

  即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列.

  (2)由=α,=β,得

  (x1,y1-2)=α,

  (x2,y2-2)=β,

  即得:α=,β=,

  则α+β=,

  由(1)中代入得α+β=-1,

  故α+β为定值且定值为-1.

  11.如图,在平面直角坐标系xOy中,设点F(0,p)(p>0),直线l:y=-p,点P在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点,过R,P分别作直线l1,l2,使l1PF,l2l,l1∩l2=Q.

  (1)求动点Q的轨迹C的方程;

  (2)在直线l上任取一点M作曲线C的两条切线,设切点为A,B,求证:直线AB恒过一定点;

  (3)对(2)求证:当直线MA,MF,MB的斜率存在时,直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.

  解题思路:本题考查轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系.(1)利用抛物线的定义即可求出抛物线的标准方程;(2)利用导数及方程根的思想得出两切点的直线方程,进一步求出直线恒过的定点;(3)分别利用坐标表示三条直线的斜率,从而化简证明即可.

  解析:(1)依题意知,点R是线段PF的中点,且RQ⊥FP,

  RQ是线段FP的垂直平分线. |QP|=|QF|.故动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为:x2=4py(p>0).

  (2)设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2).

  由x2=4py得y=x2,求导得y′=x.

  两条切线方程为y-y1=x1(x-x1),

  y-y2=x2(x-x2),

  对于方程,代入点M(m,-p)得,

  -p-y1=x1(m-x1),又y1=x,

  -p-x=x1(m-x1),

  整理得x-2mx1-4p2=0.

  同理对方程有x-2mx2-4p2=0,

  即x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.

  x1+x2=2m,x1x2=-4p2.

  设直线AB的斜率为k,k===(x1+x2),

  所以直线的方程为y-=(x1+x2)(x-x1),展开得:

  y=(x1+x2)x-,

  将代入得:y=x+p.

  直线恒过定点(0,p).

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