2017年高考数学答案_2017高考数学专练及答案:直线与圆的概念

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一、选择题

  1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为(  )

  A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

  C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

  答案:A 解题思路:设AC的中点为O,即.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则由3x0-y0+1=0,得3x-y-20=0.

  2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为(  )

  A.1 B.2

  C. -2D.3

  答案:C 解题思路:当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时,切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2,所以切线长的最小值是l==.

  3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b的取值范围是(  )

  A.{b||b|=}

  B.{b|-1

  C.{b|-1≤b<1}

  D.非以上答案

  答案:

  B 解题思路:在同一坐标系中,画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,如图所示,相切时b=-,其他位置符合条件时需-1

  4.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是(  )

  A.2 B.3

  C.4 D.6

  答案:C 解题思路:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为

  d==

  ==.

  所以当a=2时,d有最小值=3,此时切线长最小,为==4,故选C.

  5.已知动点P到两定点A,B的距离和为8,且|AB|=4,线段AB的中点为O,过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中,长度为整数的有(  )

  A.5条 B.6条

  C.7条 D.8条

  答案:D 命题立意:本题考查椭圆的定义与性质,难度中等.

  解题思路:依题意,动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长是8,短轴长是2=4的椭圆.注意到经过该椭圆的中心O的最短弦长等于4,最长弦长是8,因此过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中,长度可以为整数4,5,6,7,8,其中长度为4,8的各一条,长度为5,6,7的各有两条,因此满足题意的弦共有8条,故选D.

  6.设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是(  )

  A.[1-,1+]

  B.(-∞,1-][1+,+∞)

  C.[2-2,2+2]

  D.(-∞,2-2][2+2,+∞)

  答案:D 解题思路: 直线与圆相切,

  =1,

  |m+n|=,

  即mn=m+n+1,

  设m+n=t,则mn≤2=,

  t+1≤, t2-4t-4≥0,

  解得:t≤2-2或t≥2+2.

  7.在平面直角坐标系xOy中,设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数λ,μ,使得=λ+μ,则λ2+(μ-3)2的取值范围是(  )

  A.[0,+∞) B.(2,+∞)

  C.(2,8) D.(8,+∞)

  答案:B 解题思路:依题意B,O,C三点不可能在同一直线上, ·=|cos BOC=cos BOC∈(-1,1),又由=λ+μ,得λ=-μ,于是λ2=1+μ2-2μ·,记f(μ)=λ2+(μ-3)2.则f(μ)=1+μ2-2μ·+(μ-3)2=2μ2-6μ-2μ·+10,可知f(μ)>2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2,且f(μ)<2μ2-4μ+10=2(μ-1)2+8无值,故λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,+∞).

  8.已知圆C:x2+y2=1,点P(x0,y0)在直线x-y-2=0上,O为坐标原点,若圆C上存在一点Q,使得OPQ=30°,则x0的取值范围是(  )

  A.[-1,1] B.[0,1]

  C.[-2,2] D.[0,2]

  答案:D 解析:由题知,在OPQ中,=,即=, |OP|≤2,又P(x0,x0-2),则x+(x0-2)2≤4,解得x0[0,2],故选D.

  9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分成两部分,使得这两部分的面积之差,则该直线的方程为(  )

  A.x+y-2=0 B.y-1=0

  C.x-y=0 D.x+3y-4=0

  答案:A 命题立意:本题考查直线、线性规划与圆的综合运用及数形结合思想,难度中等.

  解题思路:要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差,必须使过点P的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线OP垂直.又已知点P(1,1),则kOP=1,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点P(1,1),故由点斜式得,所求直线的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

  10.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是(  )

  A. B.

  C.[-, ] D.

  答案:B 命题立意:本题考查直线与圆的位置关系,难度中等.

  解题思路:在由弦心距d、半径r和半弦长|MN|构成的直角三角形中,由勾股定理,得|MN|=≥,得4-d2≥3,解得d2≤1,又d==,解得k2≤,所以-≤k≤.
  二、填空题

  11.已知直线l:y=-(x-1)与圆O:x2+y2=1在第一象限内交于点M,且l与y轴交于点A,则MOA的面积等于________.

  答案: 命题立意:本题考查直线与圆的位置关系的应用,难度较小.

  解题思路:联立直线与圆的方程可得xM=,故SMOA=×|OA|×xM=××=.

  12.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2+b2=c2,则直线ax-by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为________.

  答案:2 命题立意:本题考查直线与圆位置关系的应用,求解弦长一般采用几何法求解,难度较小.

  解题思路:圆心到直线的距离d===,故直线被圆截得的弦长为2=2=2.

  13.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足APO=BPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是________.

  答案:(x-2)2+y2=4(y≠0) 命题立意:本题考查角平分线的性质及直接法求轨迹方程,难度中等.

  解题思路:因为A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足APO=BPO,故点P在角APB的角平分线上,则利用PAPB=AOOB=21,设点P(x,y),则利用关系式可知=2化简可得(x-2)2+y2=4(y≠0).

  14.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是

  15° 30° 45° 60° 75°

  其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)

  答案: 解题思路:设直线m与l1,l2分别交于A,B两点,

  过A作ACl2于C,则|AC|==.

  又|AB|=2,ABC=30°.

  又直线l1的倾斜角为45°,

  直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.
  B组

  一、选择题

  1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos AFB=(  )

  A. B.

  C.- D.-

  答案:D 解题思路:联立消去y得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.

  不妨设点A在x轴下方,所以A(1,-2),B(4,4).

  因为F(1,0),所以=(0,-2),=(3,4).

  因此cos AFB=

  ==-.故选D.

  2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为(  )

  A. B.

  C.1 D.2

  答案:D 解题思路:由题意知,抛物线的准线l为y=-1,过A作AA1l于A1,过B作BB1l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1l于M1,则|MM1|=,|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,即|AA1|+|BB1|≥6,即2|MM1|≥6, |MM1|≥3,即M到x轴的距离d≥2,故选D.

  3.设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是双曲线渐近线上的一点,AF2F1F2,原点O到直线AF1的距离为|OF1|,则渐近线的斜率为(  )

  A.或- B.或-

  C.1或-1 D.或-

  答案:D 命题立意:本题考查了双曲线的几何性质的探究,体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用,难度中等.

  解题思路:如图如示,不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点,由AF2F1F2,可得点A的坐标为,又由OBAF1且|OB|=|OF1|,即得sin OF1B=,则tan OF1B=,即可得=, =,得=,由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-,故应选D.

  4.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的F2交椭圆于点E,E恰好是直线EF1与F2的切点,则椭圆的离心率为(  )

  A. B.

  C. D.

  答案:C 解题思路:由题意可得,EF1F2为直角三角形,且F1EF2=90°,

  |F1F2|=2c,|EF2|=b,

  由椭圆的定义知|EF1|=2a-b,

  又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2,

  即(2a-b)2+b2=(2c)2,整理得b=a,

  所以e2===,故e=,故选C.

  5.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(  )

  A. B.2 C.4 D.8

  答案:C 解题思路:由题意得,设等轴双曲线的方程为-=1,又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4,代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±,所以2=4,解得a=2,所以双曲线的实轴长为2a=4,故选C.

  6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于(  )

  A. B.3 C. D.3

  答案:B 命题立意:本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识,意在考查考生的运算能力.

  解题思路:依题意得,抛物线y2=-12x的准线方程是x=3,双曲线-=1的渐近线方程是y=±x,直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3,±),因此所求的三角形的面积等于×2×3=3,故选B.

  7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1,则以a,b,m为边长的三角形一定是(  )

  A.等腰三角形 B.直角三角形

  C.锐角三角形 D.钝角三角形

  答案:D 解题思路:双曲线的离心率为e1=,椭圆的离心率e2=,由题意可知e1·e2>1,即b2(m2-a2-b2)>0,所以m2-a2-b2>0,即m2>a2+b2,由余弦定理可知三角形为钝角三角形,故选D.

  8. F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为(  )

  A.2 B. C. D.

  答案:B 命题立意:本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识,考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.

  解题思路:如图,由双曲线定义得,|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a,因为ABF2是正三角形,所以|BF2|=|AF2|=|AB|,因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且F1AF2=120°,在F1AF2中,4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2,所以e=,故选B.

  9.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )

  A.2 B.3

  C. D.

  答案:A 解题思路:设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1,d2,根据抛物线的定义可知直线l2:x=-1恰为抛物线的准线,抛物线的焦点为F(1,0),则d2=|PF|,由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时,即为点F到l1的距离,利用点到直线的距离公式得最小值为=2,故选A.

  10.已知双曲线-=1(a>0,b>0),A,B是双曲线的两个顶点,P是双曲线上的一点,且与点B在双曲线的同一支上,P关于y轴的对称点是Q.若直线AP,BQ的斜率分别是k1,k2,且k1·k2=-,则双曲线的离心率是(  )

  A. B. C. D.

  答案:C 命题立意:本题考查双曲线方程及其离心率的求解,考查化简及变形能力,难度中等.

  解题思路:设A(0,-a),B(0,a),P(x1,y1),Q(-x1,y1),故k1k2=×=,由于点P在双曲线上,故有-=1,即x=b2=,故k1k2==-=-,故有e===,故选C.
  二、填空题

  11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.

  答案:(1)-8 (2)2 命题立意:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,难度中等.

  解题思路:设直线AB的方程为x-2=m(y-0),即x=my+2,联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

  知识拓展:将ABF分割后进行求解,能有效减少计算量.

  12. B1,B2是椭圆短轴的两端点,O为椭圆中心,过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项,则的值是________.

  答案: 命题立意:本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质,难度中等.

  解题思路:设椭圆方程为+=1(a>b>0),令x=-c,得y2=, |PF1|=. ==,又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|,得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2), (a2-2b2)2=0, a2=2b2, =.

  13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若=,则p=________.

  答案:2 解题思路:过B作BE垂直于准线l于E,

  =, M为AB的中点,

  |BM|=|AB|,又斜率为,

  BAE=30°, |BE|=|AB|,

  |BM|=|BE|, M为抛物线的焦点,

  p=2.

  14.

  如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为________.

  答案: 解题思路:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b20,即e2+e-1>0, e>或e<,又0

  15.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A,B两点,若=2,则直线l的斜率为________.

  答案:± 命题立意:本题考查直线与双曲线的位置关系,难度中等.

  解题思路:联立直线与双曲线,结合根与系数的关系及向量的坐标运算求解.由题意可知,直线l与双曲线的两支相交,故设直线l:y=kx+1,k,代入双曲线方程整理得(3-4k2)x2-8kx-16=0(*).设A(x1,y1),B(x2,y2),则由=2得x1=-2x2,在(*)中,利用根与系数的关系得x1+x2=,解得x2=-,y2=,代入双曲线方程整理得16k4-16k2+3=0,解得k2=,故直线l的斜率是±.

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