人教版八年级上册数学期中试卷及答案|八年级上册期中数学试卷及答案解析

一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．8的立方根是（　　）
A．3 B．±3 C．2 D．±2
【考点】立方根．
【分析】直接根据立方根的定义求解．
【解答】解：8的立方根为2．
故选C．
【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作 ．
　
2．计算（﹣a2b）3的结果是（　　）
A．﹣a6b3 B．a6b C．3a6b3 D．﹣3a6b3
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】利用积的乘方性质：（ab）n=anbn，幂的乘方性质：（am）n=amn，直接计算．
【解答】解：（﹣a2b）3=﹣a6b3．
故选A．
【点评】本题考查了幂运算的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握．
　
3．计算（x﹣6）（x+1）的结果为（　　）
A．x2+5x﹣6 B．x2﹣5x﹣6 C．x2﹣5x+6 D．x2+5x+6
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=x2+x﹣6x﹣6=x2﹣5x﹣6．
故选B
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
4．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
　
5．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去，这样做根据的三角形全等判定方法为（　　）

A．S．A．S． B．A．S．A． C．A．A．S． D．S．S．S．
【考点】全等三角形的应用．
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
　
6．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　）

A．2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】计算题．
【分析】可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．
【解答】解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；
梯形中，S阴影= （2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；
故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
　
7．如果x+y=3，xy=1，则x2+y2=（　　）
A．9 B．11 C．7 D．8
【考点】完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】将x+y=3两边平方，利用完全平方公式展开，将xy的值代入即可求出所求式子的值．
【解答】解：将x+y=3两边平方得：（x+y）2=9，
即x2+2xy+y2=9，
将xy=1代入得：x2+2+y2=9，即x2+y2=7．
故选C
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
8．16的平方根是　±4　．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
　
9．分解因式：a2+a=　a（a+1）　．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
【解答】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
　
10．计算： + =　3　．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用算术平方根，以及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=4﹣1=3，
故答案为：3
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
11．直接写出一个负无理数　﹣π　．
【考点】无理数．
【专题】开放型．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：写出一个负无理数﹣π，
故答案为：﹣π．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
　
12．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是　2　．

【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
【分析】可用“夹逼法”估计 ， 的近似值，得出点A和点B之间的整数．
【解答】解：1＜ ＜2；2＜ ＜3，
∴在数轴上点A和点B之间的整数是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
　
13．如x+m与2x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为　﹣ 　．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题．
【分析】先根据已知式子，可找出所有含x的项，合并系数，令含x项的系数等于0，即可求m的值．
【解答】解：∵x+m与2x+3的乘积中含x项的系数是（3+2m），
∴3+2m=0，
∴m=﹣ ．
故答案是﹣ ．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0．
　
14．已知：x2﹣2y=5，则代数式2x2﹣4y+3的值为　13　．
【考点】代数式求值．
【专题】整体思想．
【分析】观察题中的两个代数式x2﹣2y=5和2x2﹣4y+3，可以发现，2x2﹣4y=2（x2﹣2y），因此可整体求出2x2﹣4y的值，然后整体代入即可求出所求的结果．
【解答】解：∵x2﹣2y=5，
代入2x2﹣4y+3，得
2（x2﹣2y）+3=2×5+3=13．
故填13．
【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2﹣2y的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
　
15．若x2+mx+4是完全平方式，则m=　±4　．
【考点】完全平方式．
【分析】这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的2倍，故m=±4．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和2积的2倍，
故m=±4，
故填±4．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
　
16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为　72°　．

【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，根据三角形内角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度．
【解答】解：∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，
∴∠B=（180°﹣36°）÷2=72°，∠DCB=36°．
∴∠BDC=72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题根据三角形内角和等于180度，在△CDB中从而求得∠BDC的角度．
　
17．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称△ABC是好三角形．

小丽发现好三角形折叠的次数不同∠B与∠C的数量关系就不同．并作出展示：
第一种好三角形：如图2，沿AD折叠一次，点B与点C重合；
第二种好三角形：如图3，沿着AB1、A1B2经过两次折叠．
（1）小丽展示的第一种好三角形中∠B与∠C的数量关系是　∠B=∠C　；
（2）如果有一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是　∠B=5∠C　．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）在小丽展示的第一种好三角形中，如答图1，根据折叠的性质推知∠B=∠C；
（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C．
【解答】解：（1）∠B=∠C；
如答图1，沿AD折叠一次，点B与点C重合，则AB=AC，故∠B=∠C．
故答案为：∠B=∠C；

（2）如答图2所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
所以，一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是：∠B=5∠C．
故答案为：∠B=5∠C．


【点评】本题考查了几何变换综合题，翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
　
三、解答题（共89分）
18．计算：
（1）a（3a+4b）；
（2）（x﹣3）（2x﹣1）；
（3）（﹣64x4y3）÷（﹣2xy）3．
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题；整式．
【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（3）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=3a2+4ab；
（2）原式=2x2﹣x﹣6x+3=2x2﹣7x+3；
（3）原式=﹣64x4y3）÷（﹣8x3y3）=8x．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
19．分解因式：
（1）x3﹣x；
（2）x（x﹣y）+y（y﹣x）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）；
（2）原式=x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
　
20．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：原式=x2﹣2x﹣x2+1=﹣2x+1，
当x=10时，原式=﹣2×10+1=﹣19．
【点评】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．
　
21．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】利用AAS判定△ABC≌△BAD，再根据全等三角形的对应边相等即可求得AC=BD．
【解答】证明：∵ ，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
∴AC=BD（全等三角形对应边相等）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．本题比较简单，做题时要找准对应关系．
　
22．已知一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3 ）平方厘米，它的宽为6xy厘米，求它的长为多少厘米？
【考点】整式的除法．
【分析】利用矩形面积公式，结合整式的除法运算法则求出答案．
【解答】解：∵一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3 ）平方厘米，它的宽为6xy厘米，
∴它的长为：（6x2y+12xy﹣24xy3 ）÷6xy=（x+2﹣4y2）厘米．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
　
23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．
（1）请你写出图中所有等腰三角形；
（2）判断EF、BE、FC之间的关系，并证明你的结论．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得到∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，等量代换得到∠AEF=∠AFE，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的定义得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，得到∠DBC=∠DCB，即可得到结论；
（2）由（1）证得DE=BE，DF=CF，等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BE=DE，DF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰直角三角形；

（2）EF=BE+CF，
理由：由（1）证得：DE=BE，DF=CF，
∴EF=DE+DF=BE+CF．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．
　
24．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2﹣2x+1=　（x﹣1）2　，25x2+30x+9=　（5x+3）2　，9x2+12x+4=　（3x+2）2　．
（2）观察上述三个多项式的系数，
有（﹣2）2=4×1×1，302=4×25×9，122=4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么实系数a、b、c之间一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示系数a、b、c之间的关系　b2=4ac　．
②解决问题：在实数范围内，若关于x的多项式mx2+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n，求系数m与n的值．
（3）在实数范围内，若关于x的多项式x2+mx+2n和x2+nx+2m都是完全平方式，利用（2）中的规律求mn的值．
【考点】完全平方式．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据完全平方公式分解即可；
（2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案；
②求出64=4mn，求出方程的特殊解即可；
（3）根据规律得出m2=8n且n2=8m，组成一个方程，求出mn即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1=（x﹣1）2，25x2+30x+9=（5x+3）2，9x2+12x+4=（3x+2）2，
故答案为：（x﹣1）2，（5x+3）2，（3x+2）2；

（2）①b2=4ac，
故答案为：b2=4ac；

②∵关于x的多项式mx2+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n，
∴82=4mn，
∴只有三种情况：m=16，n=1或m=4，n=4或m=8，n=2；

（3）∵关于x的多项式x2+mx+2n和x2+nx+2m都是完全平方式，
∴m2=4×2n=8n且n2=4×2m=8m，
∴m2n2=64mn，
∴m2n2﹣64mn=0，
∴mn（mn﹣64）=0，
∴mn=0或mn=64．
【点评】本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2=4ac是解此题的关键．
　
25．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）
（1）如图1，若点G是线段CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，求证：△ABF≌△DAE．
（2）如图2，若点G是线段CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，判断线段EF与AF、BF的数量关系，并证明．
（3）若点G是直线BC上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究线段EF与AF、BF的数量关系．（请画图、不用证明、直接写答案）

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可；
（2）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可，根据全等得出AE=BF，代入即可求出答案；
（3）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可，结合G点可能在BC延长线上以及在线段BC上和在CB延长线上分别得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）解：EF=AF+BF，
理由是：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE+AF=AF+BF；

（3）解：如图3所示：
∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
∵ ，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴FB=AE．
∵AE=EF+AF，
∴EF=BF﹣AF．
如图4，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
∵ ，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴AE=BF．
∵AE+EF=AF，
∴EF=AF﹣BF；
如图5，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴AE=BF．
∵AE+AF=EF，
∴EF=AF+BF．


【点评】本题考查了四边形综合、全等三角形的性质和判定以及正方形的性质等知识，利用G点位置的不同分类讨论得出答案是解题关键．

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