九年级上册数学期末测试卷人教版含答案_九年级上册数学期末测试卷含答案

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是( )
A． B． C． D．
考点：比例的性质．
分析：根据比例设x=6k，y=5k，然后分别代入对各选项进行计算即可判断．
解答： 解：∵x：y=6：5，
∴设x=6k，y=5k，
A、 = = ，故本选项错误；
B、 = = ，故本选项错误；
C、 = =6，故本选项错误；
D、 = =﹣5，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了比例的性质，利用“设k”法表示出x、y可以使计算更加简便．
2．二次函数y =x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：先计算根的判别式的值，然后根据b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断．
解答： 解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( )

A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，推出△DEF∽△BAF，求出 =（ ）2= ， = = ，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出 = = = ，即可得出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：CE=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ =（ ）2= ， = = ，
∴ = = = （等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故选C．
点评：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
4．从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是( )
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
分析：列举出所有情况，看卡片上的数字之和为奇数的情况数占总情况数的多少即可．
解答： 解：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由列表可知：共有3×4=12种可能，卡片上的数字之和为奇数的有8种．
所以卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
故选C．
点评：本题考查求随机事件概率的方法．注意：任意取两张，相当于取出不放回．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的活动区域面积是( )

A． πm2 B． πm2 C． πm2 D． πm2
考点：扇形面积的计算．
专题：压轴题．
分析：小羊A在草地上的活动区域是一个扇形+一个小扇形的面积．
解答： 解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积= = m2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°=60°，半径是1m，
则面积= = （m2），
则小羊A在草地上的活动区域面积= + = （m2）．
故选D．

点评：本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
6．二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的图象一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．
考点：二次函数的性质．
分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．
解答： 解：∵二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的对称轴为直线x=﹣ =﹣ = ＜0，
∴其顶点坐标在第二或三象限，
∵当x=0时，y=﹣3，
∴抛物线一定经过第四象限，
∴此函数的图象一定不经过第一象限．
故选A．
点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
7．在下列命题中，正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．圆的内接等边三角形只有一个
C．一个三角形有且只有一个外接圆
D．一个四边形一定有外接圆
考点：命题与定理．
分析：利用确定圆的条件、圆内接三角形的定义、外接圆的定义分别判断后即可确定正确的选项．
解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、圆内接等边三角形有无数个，故错误；
C、一个三角形有且只有一个外接圆，正确；
D、并不是所有的四边形一定有外接圆，故错误，
故选C．
点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆内接三角形的定义、外接圆的定义等知识，难度不大．
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：
（1）c＜0；
（2）b＞0；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）（a+c）2＜b2．
其中不正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：抛物线的开口向上，则a＞0；
对称轴为x=﹣ =1，即b=﹣2a，故b＜0，故（2）错误；
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，故（1）正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＜0，故（3）错误；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c＜0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c＜0，
则（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故（4）错误；
不正确的是（2）（3）（4）；
故选C．
点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．
9．某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是( )
A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm
考点：相似多边形的性质．
分析：首先设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，根据题意可得这两个图形相似，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可列方程 =（ ）2，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
解答： 解：设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，4000m2=40000000m2，40m=4000cm，
根据题意得： =（ ）2，
解得：x=10，
即这块草坪在设计图纸上的长度是10cm．
故选C．
点评：此题考查了相似图形的性质．此题难度不大，注意相似图形的面积比等于相似比的平方的应用与方程思想的应用．
10．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是( )
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位
B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位
D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
解答： 解：∵抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴顶点由（2，1）到（﹣1，﹣2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位．
故选A．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
11．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( )

A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义．
专题：网格型．
分析：认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．
解答： 解：由图可得tan∠AOB= ．
故选B．
点评：本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正 切等于对边比邻边．
12．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是( )

A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．
专题：几何图形问题；压轴题．
分析：此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
解答： 解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴
当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y= = ．
当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y= =
∴y与x之间的函数关系
由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：A．
点评：本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为60°．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
专题：计算题．
分析：由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的 ．
解答： 解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数= ×360°=60°．
故答案为60°．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
14．如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=120度．

考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．
分析：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．根据垂径定理可得OD= OE，AD=CD，根据三角形中位线定理可得OD= BC，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．
解答： 解：过O点作OD⊥AC交 AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．
∴OD= OE，AD=CD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，OD= BC，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度．
故答案为：120．

点评：考查了翻折变换（折叠问题），垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，难度中等．
15．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半 圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+ ．

考点：二次函数综合题．
分析：连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
解答： 解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO•BO=3，
∴CO= ，
∴CD=CO+OD=3+ ，
故答案为：3+ ．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．
16．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4 ，x的三个正方形，则x的值为7．

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：根据已知条件可以推出△CEF∽△OME ∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值答题
解答： 解：如图∵在Rt△ABC中∠C=90°，放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=3，PN=4，
∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，
∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），
∴（x﹣3）（x﹣4）=12，
∴x1=0（不符合题意，舍去），x2=7．
故答案为：7．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．
17．如图，A、D、E是⊙O上的三个点，且∠AOD=120°，B、C是弦AD上两点，BC= ，△BCE是等边三角形．若设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式是y= ．

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．
专题：计算题．
分析：由圆周角定理得出∠AED=120°，得出∠EAD+∠EDC=60°，由等边三角形的性质得出∠BEC=∠EBC=∠ECB=60°，BE=CE=BC= ，得出∠ABE=∠ECD=120°，证出∠AEB=∠EDC，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
解答： 解：连接AE、DE，如图所示：
∵∠AOD=120°，
∴360°﹣120°=240°，
∴∠AED= ×240°=120°，
∴∠EAD+∠EDC=60°，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=∠EBC=∠ECB=60°，BE=CE=BC= ，
∴∠ABE=∠ECD=120°，∠EAD+∠AEB=60°，
∴∠AEB=∠EDC，
∴△ABE∽△ECD，
∴ ，
即 ，
∴y= ．
故答案为：y= ．

点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理和等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：① ；②FG= FB；③AF= ；④S△ABC=5S△BDF，其中正确结论的序号是①②③．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析：根据同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角边角”证明△ABC和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BD，然后求出AG= BC，再求出△AFG和△CFB相似，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，从而判断出①正确；由AG= BC，所以FG= FB，故②正确；根据相似三角形对应边成比例求出 = ，再根据等腰直角三角形的性质可得AC= AB，然后整理即可得到AF= AB，判断出③正确；过点F作MF⊥AB于M，根据三角形 的面积整理即可判断出④错误．
解答： 解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠BCD，
在△ABC和△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，
∵点D是AB的中点，
∴BD= AB，
∴AG= BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴ ，
∵BA=BC，
∴ ，
故①正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴ ，
∴FG= FB，
故②正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴ ，
∴AF= AC，
∵AC= AB，
∴AF= AB，故③正确；
过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，
∴ ，
∵ ，
∴ = = = = ，故④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分78分）
19．计算：（ +1）（ ）﹣（﹣2014）0+2 sin45°．
考点：二次根式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：分别进行二次根式的乘法、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后合并．
解答： 解：原式=6﹣1﹣1+2=6．
点评：本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的乘法、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
20．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；
（2）可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
解答： （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∵BD=3，CE=2，
∴ ；
解得AB=9．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
21．如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高（结果保留根号）．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．
解答： 解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE=BD=39米．
∵∠CAE=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=AE=39米．
在Rt△AED中，tan∠EAD= ，
∴ED=39×tan30°=13 米，
∴CD=CE+ED=（39+13 ）米．
答：楼CD的高是（39+13 ）米．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到特殊角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键．
22．如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时，视为无效，重新转动一次转盘），此过程称为一次操作．请用树状图或列表法，求事件“两次操作，第一次操作得到的数与第二次操作得到的数的绝对值相等”发生的概率．

考点：列表法与树状图法．
分析：根据题意，用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案．
解答： 解：画树状图如下：

所有可能出现的结果共有9种，其中满足条件的结果有5种．
所以P（所指的两数的绝对值相等）= ．
点评：考查了列表法与树状图法求概率的知识，树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
（1）如图，作直径AD；
（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
（3）联结AB、AC、BC，那么△ ABC为所求的三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．

考点：正多边形和圆；垂径定理．
分析：利用锐角三角函数关系得出∠BOE=60°，进而得出∠COE=∠BOE=60°，再利用圆心角定理得出答案．
解答： 解：两位同学的方法正确．
连BO、CO，
∵BC垂直平分OD，
∴直角△OEB中．cos∠BOE= = ，
∠BOE=60°，由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，
由于AD为直径，∴∠AOB=∠AOC=120°，
∴AB=BC=CA，
即△ABC为等边三角形．

点评：此题主要考查了垂径定理以及圆心角定理和等边三角形的判定等知识，得出∠AOB=∠AOC=120°是解题关键．
24．如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）
②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是四边形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

考点：相似形综合题．
分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△EBC，所以问题得解；
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．②不一定存在强相似点，如正方形；
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．
解答： 解：（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°，
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求，
如图2所示：连接FC，DF，
∵CD为直径，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．
（3）第一种情况：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC，
∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点，
∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，
∵△ADE是直角三角形，
∴△DEC也是直角三角形，
当∠DEC=90°时，
①∠CDE=∠DEA，
∴DC∥AE，
这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立；
②∠CDE=∠EDA，
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ECD，
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AED=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE=∠ECD，
∴DE平分∠ADC，同理可得，CE平分∠DCB，
如图3，过E作EF⊥DC，
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴AE=FE，BE=FE，
∴AE=BE，
第二种情况：∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
说明AE= DE，BE= CE，DE= CE，
所以AE= BE．
综上，AE=BE或AE= BE．


点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念，掌握强相似点的概念、正确运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的正确运用．
25．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采 购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：y=﹣0.02x+8．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利，利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？

考点：二次函数的应用．
分析：（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；
（3）根据（2）中所求得出，﹣0.02（x﹣150）2+450=418求出即可．
解答： 解；（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，
，
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣0.02x+8；
故答案为：y=﹣0.02x+8；
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x，
当x=100时，W有值400元，
当100＜x≤200时，
W=（y﹣2）x
=（﹣0.02x+6）x
=﹣0.02（x﹣150）2+450，
∴当x=150时，W有值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得利润为450元；
（3）∵400＜418＜450，
∴根据（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450=418
解得：x1=110，x 2=190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合以及分段讨论得出是解题关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题；压轴题．
分析：（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；
②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB=60°，根据同位角相等两直线平行求出EF∥AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三种情况分别求解．
解答： 解：（1）∵点A（﹣1，0），
∴OA=1，
由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
所以，OC=OA•tan60°=1× = ，
OB=OC•cot30°= × =3，
所以，点B（3，0），C（0， ），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则 ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+ ；
（2）①∵△OCE∽△OBC，
∴ = ，
即 = ，
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2时，△OCE∽△OBC；
②存在．理由如下：
抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ =1，
所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，
∵OA=OE，OC⊥x轴，∠BAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF∥AC，
由A（﹣1，0），C（0， ）可得直线AC的解析式为y= x+ ，
∵点E（1，0），
∴直线EF的解析式为y= x﹣ ，
联立 ，
解得 ， ，
∴点M的坐标为（2， ），或（﹣3，﹣4 ）（舍去），
EM= =2，
分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，
当PE=EM时，PE=2，
所以，点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2），
当PE=PM时，∵∠FEB =60°，
∴∠PEF=90°﹣60°=30°，
PE= EM÷cos30°= ×2÷ = ，
所以，点P的坐标为（1， ），
当PM=EM时，PE=2EM•cos30°=2×2× =2 ，
所以，点P的坐标为（1，2 ），
综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，﹣2）或（1， ）或（1，2 ），使△PEM是等腰三角形．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形对应边成比例的性质，等腰三角形的性质，（2）②要根据等腰三角形腰的不同进行分情况讨论，根据题目图形，点M在x轴下方的情况可以舍去不予考虑．

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