一.学习目标:
1.进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
二.学习重点难点:
重点:进一步用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
难点:灵活运用三角函数解决实际问题.
三.教学过程
【温故知新】
1.如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为60°和45°,则广告牌的高度BC为_____________米(结果保留根号).
2.如图,一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出,继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C点处距离海面的深度?
变式(11四川宜宾)如图,飞机沿水平方向(A,B两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求:
(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
【例题解析】
Ⅰ.甲楼看乙楼问题.
例1.如图,线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥BC,从B点测得D点的仰角α为60°从A点测得D点的仰角β为30°,已知甲建筑物高AB=36米.
(1)求乙建筑物的高DC;
(2)求甲、乙两建筑物之间的距离BC(结果保留根号).
变式1:如图,AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°,楼底D的俯角为30°.
(1)求楼CD的高.
(2)若已知楼CD高为30米,其他条件不变,你能求出两楼之间的距离BD吗?
练习:(10重庆市潼南县)如图所示,小明在家里楼顶上的点A处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m,则电梯楼的高BC为 米(精确到0.1).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
Ⅱ.方位角问题.
例2.如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处向东500米的B处,测得海中灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到环海路的距离PC= 米(结果保留根号).
变式:如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
例3.如图,在某广场上空飘着一只汽球P,A、B是地面上相距90米的两点,它们分别在汽球的正西和正东,测得仰角∠PAB=45o,仰角∠PBA=30o,求汽球P的高度___________(结果保留根号)
变式:如图所示,A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内. 请问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
【能力训练】
1.(10山东青岛)小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB= 米.为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度.(结果保留整数)
(参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34,sin48°≈710,tan48°≈1110)
2.大海中某小岛A的周围22km范围内有暗礁. 一海轮在该岛的南偏西55°方向的B处,由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的C处.如果该海轮继续向东行驶,会有触礁的危险吗? (精确到0.1km).
3.气象局发出预报:如图, 沙尘暴在A市的正东方向400km的B处以40km/h的速度向北偏西600的方向转移,距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响,A市是否受到这次沙尘暴的影响?如果受到影响,将持续多长时间?
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