高二数学选修 谈概率中钥匙开门问题 在高中概率这一章的学习中,钥匙开门问题是经常碰到的问题,对于这一问题,尤其是求在钥匙放回或不放回这两种情况下第几次将门打开的概率,学生经常出错,本文对这一问题进行归纳、对比.供大家参考。 例1 某人有5把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开房门,不幸的是他忘了是那一把,只好随意逐把试开,若每次试过的钥匙不再重复试开.求第3次将房门打开的概率. 分析 某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列,由于他每次拿哪一把是任意的,所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同,本题是等可能事件的概率问题. 解答 第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙。把五次顺5次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列共有A5种方法;在5把钥匙的一个排列中的第3把钥匙正好是开房门的钥匙,其它4把不能打开房门的钥匙任意排在4第1、2、4、5的位置上.因此第3次打开房门的结果有A4种.所以恰好第三次将房4A41门打开的概率为P(A)5.解本题时也可以只考虑前三次的情况,将前三次顺A553次拿出钥匙的结果相当于从5把钥匙中取出3把钥匙的一个排列,共有A5种;第三次打开房门即在3把钥匙的排列中第3把恰好是打开房门的钥匙,前面两个位置2是从4把不能打开房门的钥匙中取2把钥匙的一个排列,共有A4种。故2A41P(A)3. A55说明 此题也可以运用条件概率求解.在B发生的条件下,A发生的概率P(A|B)P(AB).故由P(AB)P(A|B)P(B)得:5把钥匙中只有1把能打开房门,P(B)4,由于不5且第三次打开房门说明前两次都没有打开房门.第一次打不开的概率为31,第三次打开的概率为.所以恰好第三次将434311房门打开的概率为P(A)。 5435变1 若每次试过的钥匙又放回,求第3次将房门打开的概率。 解答 每次试过的钥匙又放回,所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.第三次将房门打开说明第三次在5把钥匙中任意取一把且取到的恰好是打1开房门的钥匙,于是其概率为。 5综上,把钥匙的把数推广到n则在放回或不放回的条件下,若n把钥匙中恰好1只有一把可以打开房门的钥匙,那么第k次将房门打开的概率都是。 n变2 若每次试过的钥匙又放回,求恰好第3次将房门打开的概率。 解答 恰好第三次打开房门锁说明前两次都没有打开房门.又每次试过的钥匙放回,所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.恰好取到能打开房门14的钥匙的概率为,取不到的概率为.故恰好第3次将房门打开的概率为:5544116P(A)。 555125放回,第二次仍然打不开的概率为说明 变1和变2的区别在于“恰好”两字.有“恰好”,说明前面的k1(kN*)次都没有将门打开,恰好在第k次将门打开了.也可以把钥匙把数推广到n,恰好第n1k11k次将房门打开的概率P(A)() nn例2 如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙,随意逐把试开,且每次试过的钥匙不再重复试开.那么第3次打开房门的概率是多少? 解答 第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是2把房门钥匙中的一把,或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一. (这里只强调第3次取的这把钥匙能开房门,而前面或后面取的钥匙是否能打开房14C2A2门不去关心),故 P(A)54 A55变1 如果5把内有2把可以开房门的钥匙,且每次试过的钥匙不再重复试开.那么恰好第3次打开房门的概率是多少? 解答 恰好第3次打开房门,说明前2次都没有打开房门,则在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一,且另一把必须排在第4或第5把的位置。 113C2C2A31 P(A). 5A55变2 如果5把内有2把可以开房门的钥匙,且每次试过的钥匙又放回.那么第3次打开房门的概率是多少? 解答 每次试过的钥匙放回,所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独23立的.又每次恰好取到能打开房门的钥匙的概率为,取不到的概率为.故与例1552变1类似,第3次将房门打开的概率为. 5变3 如果5把内有2把可以开房门的钥匙,且每次试过的钥匙又放回.那么恰好第3次打开房门的概率是多少? 33218解答 P(A). 555125综上,设n把形状相同的钥匙中有m把可以打开房门,每次随意任取一把试开:1n1CmAn1m(1)若每次试开后不放回,则第k次打开的概率为P(A).或者nAnn1k1CmAn1mP(A).(2)若每次试开后不放回,则恰好第k次打开的概率为kAnn1m1nm1k1CmAnkAnmCmAnm或者P(A).P(A).(3)若每次试开后放回,则第k次打开的nkAnAnm.(4)若每次试开后放回,则恰好第k次打开的概率为nnmk1mP(A)(). nn评注:在解答概率问题时,题中条件稍有变化,解的方法以及结果就大不一样,因此一定要仔细推敲,严格区分,审清题意。 概率为P(A) 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/01939d8eba68a98271fe910ef12d2af90242a8a5.html