2013年九校(卓越联盟)自主招生 数学试题 分值: 分 时量: 分钟 一、选择题, 1.已知向量为非零向量,则夹角为( ) A. B。 C。 D。 2。已知则( ） A. B. C 。 D. 3。在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且,则异面直线与所成角的正弦值为( ） A。 B。 C. D. 4。为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( ） A。 B。 C。 D. 5。已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( ） A.. B。 C。 D。 6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2，且为的中点，则点到平面的距离为（ ) A。 B. C。 D。 7。若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为( ) A. B。 C. D。 A 8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于，交于,交在点处的切线于,若，则的长为（ ） l A。 B。 C. D. P G 9.数列共有11项,且 E O C 满足这种条件的不同数列的个数为（ ) D A. 100 B. 120 C。 140 D. 160 B F 10。设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，表示坐标平面关于轴的镜面反射。用表第8题图 示变换的复合,先做，再做.用表示连续次的变换,则是( ) A. B。 C。 D. 二、解答题 11.设数列满足。 （1）设,证明:若，则是等比数列; (2）若求的值； 12.在中,是角的平分线，且。 （1）求的取值范围； （2）若,问为何值时，最短？ 13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切。 (1)求椭圆的方程； （2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值. 14.一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为。 （1）求； (2）设，求 (3)证明: 15。设。 （1）求; (2）设求常数,使得取得最小值; (3）记(2）中的最小值为,证明。 参考答案： 一。选择题 二.解答题 11.【解】(1)证：由，得 令则，所以是以为首项，以为公比的等比数列; (2)由(1) 可知， 所以由累加法得即 也所以有时，也适合该式； 所以 也所以 由于所以解得。 12.【解】(1)过作直线,交延长线于，如图右. 所以, 也所以有,即 在中,有 即 所以，即 所以。 （2）因为 在中,有 记，则 当时， 此时取最小值，此时. 故当时,取最小值. 13。【解】设椭圆方程为，因为它与直线只有一个公共点, 所以方程组只有一解，整理得。 所以得. 又因为焦点为,所以联立上式解得 所以椭圆方程为. (2)若斜率不存在(或为0)时,则。 若斜率存在时,设为,则为. 所以直线方程为。设与椭圆交点坐标为 联立方程化简得。 则 A C B D E 所以 同理可得 所以 因为（当且仅当时取等号) 所以,也所以 所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2. 14。【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球）,概率为;也可能为个(即取出的是黑球)，概率为,故。 (2)首先，时，第次取出来有个白球的可能性有两种； 第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球（故此时黑球有个),第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为 第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为。这种情况发生的概率为。 故 （3)第次白球的个数的数学期望分为两类: 第次白球个数的数学期望,即。由于白球和黑球的总个数为，第次取出来的是白球，这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是,此时白球的个数是 故 15。(1)； （2）若则显然,当取最小； 若则当取最小。 故 由（1）知 所以, 记 则令,得 即时,取最小值. （3）将代入式右边， 等价于 由于时，所以下面只须证明即可。 又令, 则，注意到函数是单调递增的，且 所以.得证. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/03d2603b5bfb770bf78a6529647d27284b7337ed.html