几何体与球的切接问题 方法技巧专题 ——几何体与球的切接问题 南充高中数学组 陈 龙 高考链接 柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，是立体几何的基础，而它们的表面积与体积(尤其是体积)是高考热点，其中几何体与球的切接问题出现频率较高～ 一、知识准备 1、表面积公式 2(r为底面积半径，l为母线长) S,2,r，2,rl圆拄 2(r为底面积半径，l为母线长) S,,r，,rl圆锥 2 (R为球半径) S,4,R球 2、体积公式 V,Sh(S为底面积面积，h 为高) 柱 1(S为底面积面积，h为高) V,Sh锥3 43VR(R为球半径) ,,球3 3、定义 多面体的外接球——若多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球 的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 多面体的内切球——若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是 这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 二、几何体的外接球 题型一、球与多面体的组合 解题关键:通过多面体的一条侧棱和球心，或接点作出截面图。 例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，求该球的表面积为和体积。 分析: 需要求出半径。 S,f(R)V,g(R)球球 解决途径:作出截面图，在轴截面中建立关系。 常用结论:长(正)方体的外接球直径是长(正)方体的体对角线。 变式1 求长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球体积。 变式2 P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=a，求这 个球的体积。 分析:采用割、补法，化复杂的几何体为简单几何体(拄、锥、台)，化离散为集中。此题 可将条件给出的几何体“补形”成一个正方体再求外接球体积。 例2 求棱长为1的正四面体ABCD的外接球体积。 分析:作出合适的球的轴截面图，找准球心位置，构造三角形求解半径。 3常用结论:正四面体外接球的球心在高线上，半径是正四面体高的 4 解法一、 解法二、 变式3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱拄高为4，体积为16，求这个球的表面积。 0AB,2CD,2,，DAC,60,变式4 等腰梯形ABCD中，E为AB的中点，将?ADE 和?BEC分别沿ED、EC折起，使A、B重合与点P，则三棱锥PEDC的外接球 体积为( ) 变式5 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D， 则四面体ABCD的外接球的体积为( ) 题型二、球与旋转体的组合 例3 半径为R的3球O中有一内接圆柱，当圆柱侧面积最大时，求球的表面积与圆柱的 侧面积之差。 分析:作出正确的轴截面图，找准圆柱底面半径与球半径之间的关系。 三、几何体的内切球 解题关键:找正多面体的内切球半径往往可以用等体积法 例4 求棱长为a的正四面体的内切球半径。 分析:并非所有多面体都有内切球，正多面体存在内切球，且正多面体的中心为内切球球心。 11,,,常用结论:正多面体内切球半径是高的; VSR多表内切43 变式4:求半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积和体积 直击高考 (2009全国)直三棱柱ABC-ABCD 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2， 1111 0 ，则此球的表面积等于 。 ，BAC,120 23(2011新课标)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=， 则棱锥O-ABCD的体积为 。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0e5d294f67ce0508763231126edb6f1afe00714d.html