Langford 系统 Hopf 分岔分析 该论文讨论了在Langford系统中的Hopf分岔情况。根据Hopf分岔的定义求解系统的平衡点以及Hopf分岔点，并且通过直接求周期解法以及后继函数判别法判断了分岔点的类型。 通过引入Lyapunov稳定性理论对本文的结论给予了理论支持，最后通过Matlab仿真证明了结论的正确性。 标签：Langford； Hopf 分岔；平衡点；Lyapunov 理论 1 引 言 分岔理论作为一种重要的数学方法，是分析非线性系统的有力工具。到目前为止，分岔研究取得了有目共睹的成果，并在许多领域得到了广泛的应用。Hopf分岔是动力系统的一类重要的动态分岔. 本文研究下列Langford系统的Hopf分岔： （1） （1）式中的μ为系统的实变参数，该系统具有很强的非线性动力学行为，丰富的分岔现象。 2 Hopf 分岔 以下列系统模型为例： （2） 式中 ——状态向量 ——分岔参数向量 Hopf 分岔是指方程（2）的雅克比矩阵的特征值中有一对复特征值，随着分岔参数的变化，它们的实部由负变为正，且当μ=μ0时，满足下列条件： 在非双曲平衡点附近发生的分岔，其对应的失稳形式是周期性的振荡发散失稳。 3 Hopf分岔分析 若用Φ（x，μ）来表示f（x，μ）和g（x，μ），平衡点方程为： Φ（x，μ）=（f（x，μ），g（x，μ））=0 那么满足下列方程组的平衡点是方程（2）的Hopf分岔点： （4） 方程（4）的第一式是平衡点方程，第二式表明在分岔点有一对共轭纯虚特征值。 可得到对于任意μ，有平衡点（0，0，0）和（0，0，μ）。 在平衡点（0，0，μ）处，Jacobian矩阵为： 对应的特征值为λ1=-μ，λ2，3=μ-1±i。 根据直接求周期解法和后继函数判别法可得到：当01时，平衡点（0，0，μ）不稳定。 4 Matlab仿真 系统的分岔图和Lyapunov指数图： 5 结论 结论表明Langford系统确实具有丰富的动力学特征，在系统进入混沌之前，会先后经历倍周期分岔、Hopf分岔、鞍结点分岔及其他分岔，致使系统最后进入混沌状态. 参考文献： [1]赵兴勇，陈秀彬，苏晓琳.电力系统电压稳定性研究与分岔理论[J].电工技术学报，2008. [2]马知恩，周文仓.常微分方程与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2003：205. [3]刘素华.博士学位论文[D].长沙：湖南大学，2008. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/22f46a2d01020740be1e650e52ea551811a6c953.html