弧长公式 §6.4 平面曲线的弧长 一、直角坐标情形 设函数f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续的导数，计算曲线y=f(x) 的长度s。 取x为积分变量，则x∈[a,b],在[a,b]上任取一小区间[x,x+dx]，那么这一 Δs可以用它的弧微分ds来近似。 小区间所对应的曲线弧段的长度 于是，弧长元素为 ds=1+f′(x)dx 2 弧长为 s=∫b a1+[f′(x)]dx 2 y= 【例1】计算曲线322x3(a≤x≤b) 的弧长。 2ds=+(x)dx=+xdx 解： 2s=∫+xdx=(1+3a 二、参数方程的情形 若曲线由参数方程 b3bx)2a2=[(1+b)−(1+a)]3 ⎧x=ϕ(t)(α≤t≤β)⎨⎩y=φ(t) 给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成 ds= β(dx)2+(dy)2=[ϕ′(t)]2+[φ′(t)]2dt 的形式，从而有 s=∫α[ϕ′(t)]2+[φ′(t)]2dt矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。 【例2】计算半径为r的圆周长度。 解：圆的参数方程为 ⎧x=rcost(0≤t≤2π)⎨y=rsint ⎩ ds= 2π 0(−rsint)2+(rcost)2dt=rdt s=∫rdt=2πr 三、极坐标情形 1 / 2 若曲线由极坐标方程 r=r(θ)(α≤θ≤β) 给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。 曲线的参数方程为 ⎧x=r(θ)cosθ⎨⎩y=r(θ)sinθ(α≤θ≤β) 此时θ变成了参数，且弧长元素为 ds=(dx)2+(dy)2 =(r′cosθ−rsinθ)2(dθ)2+(r′sinθ+rcosθ)2(dθ)2 =r2+r′2dθ 从而有 s=∫r2+r′2dθ α β 【例3】计算心脏线r=a(1+cosθ)(0≤θ≤2π)的弧长。 222ds=a(1+cosθ)+(−asinθ)dθ 解： = 4a2[cos42+sin22cos22]dθ =2acos 2π 0θ2dθ πs=∫2acos π 2θ2dθ=4a∫cosϕdϕ0=4a[∫cosϕdϕ+∫−cosϕdϕ] 0ππ 2 =8a 2 / 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/25098debdc88d0d233d4b14e852458fb760b3833.html