数列综合题 一、填空题 1． 各项都是正数的等比数列{an}，公比q1,a5,a7,a8成等差数列，则公比q= 2． 已知等差数列{an}，公差d0,a1,a5,a17成等比数列，则14a1a5a17a2a6a18= 3． 3已知数列{an}满足Sn=1+an,则an= 4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x轴上截得的线段长度之和为 5.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前n项之积为 6.数列{(-1)n}的前n项之和为 7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n层时的物品的个数为 8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为 9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为 11．设等差数列｛an｝的前n项和是Sn，若a5=20－a16，则S20=___________． 12．若｛an｝是等比数列，a4· a7= －512，a3+ a8=124，且公比q为整数，则a10等于___________． 213．在数列｛an｝中，a1=1，当n≥2时，a1 a2… an=n恒成立，则a3+ a5=___________． 14．设｛an｝是首项为1的正项数列，且（n＋1）an1－nan＋an+1 an=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an=___________． 二.解答题 1.已知数列{an}的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和 2．已知数列{an}是公差d不为零的等差数列，数列{abn}是公比为q的等比数列， b1=1,b2=10,b3=46,，求公比q及bn。 3．已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相等，且都等于d(d>0,d1),a1=b1 ，a3=3b3,a5=5b5,求an, 4． 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 5.已知等差数列｛an｝中，a1＋a4＋a7 =15，a2 a4 a6=45，求｛an｝的通项公式． 6.在等差数列｛an｝中，a1=13，前n项和为Sn，且S3= S11，求Sn的最大值． 参考答案 1.152264(13)n22n-12 2. 29 3. 3 1S1ann41S1an1n14,相减得 1an=4an14an11a n－1 =（n－1）． an12故an=-3 12nann1（n≥两式相除，得613516．42）．所以，a 3＋ a 5=2 12224. 13 x1x2(x1x2)4x1x2211n(n1)n n(n1)5. log(n+2) 6. (-1)n-12 2 7. n2+n 8. 978 9. 63 10.(5,7) 规律：（1）两个数之和为n的整数对共有n-1个。（2）在两个数之和为n的n-1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n-1起来越来越小。设两个数之和为2的数对方第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2;…… ,两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为 n。 ∵ 1+2+…+10=55，1+2+…+11=66 ∴ 第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7） 11．200．a 1＋ a 20= a 5＋a 16=20，20a1a20∴S20=2=10×20=200． 12．512．∵ a 3＋ a 8=124，又a 3 ·a 8= a 4·a 7=－512， 故a 3， a2 8是方程x－124x－512=0的两个根． 于是，a 3=－4，a 8=128，或a 3=128，a 8=－4． 由于q为整数，故只有a 3=－4，a 8=128 因此－4· q5=128，q=－2．所以a10= a 8··q2=128×4=512． 6113．16． a2 1 a 2…a n=n，∴a 1 a 2… n1114．n．所给条件式即（a n＋1 a n）[（n＋1）a n＋1－n a n]=0，由于a n＋1 a n＞0，所以（n＋1）a n＋1= na n， 又a 1=1，故na n=（n－1）a n－1=（n－2）1a n－2=…=2a 2= a 1=1，∴a n=n． 三、解答题 1． Sn=a1+a2+…+an=(31+21+1)+(32+22+3)+ …+[3n+2n+(2n-1)]=(31+32+…+3n)+(21+22+…2n)++[1+3+…+(2n-1)]=3(13n)n)n(12n1)n1n1132(12122322n272 2.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d 由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及an-1n-1bn=ab1·4=3d·4,a1+(bn-1)d=3d·4n-1 ∴bn=3·4n-1-2 3.∴ a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d ① a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ② 15d41②/①,得13d2=2，∴ d2=1或d2=5,5由题意，d=5,a1=-5。∴ 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/34b4f4a54593daef5ef7ba0d4a7302768e996f25.html