找出数列的排列规律(一) 找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法,在解数学题时人们也常常使用它,下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。 (一)思路指导 例1. 在下面数列的( )中填上适当的数。 1,2,5,10,17,( ),( ),50 分析与解: 这个数列的排列规律是什么?我们逐项分析: 第一项是:1 第二项是:2,211第一项1 第三项是:5,523第二项3 第四项是:10,1055第三项5 …… 可以看出,这个数列从第二项起,每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1,3,5,7,9……,这样我们就可以由第五项算出括号内的数了,即: 第一个括号里应填17926;第2个括号里应填261137。 例2. 自1开始,每隔两个整数写出一个整数,这样得到一个数列: 1,4,7,10…… 问:第100个数是多少? 分析与解: 这个题由于数太多,很难像例1那样递推,我们可以换一种思路: 数列中每相邻两个数的差都是3,我们把这样的数列叫做等差数列。我们把“3”叫做这个等差数列的公差。 观察下面的数列是等差数列吗?如果是,它们的公差是几? (1)2,3,4,5,6,7…… (2)5,10,15,20,25,30…… (3)1,2,4,8,16…… (4)12,14,16,18,20…… 现在我们结合例2找一找每一项与第一项,公差有什么关系? 第1项是1,第二项比第一项多3,第三项比第一项多2个3,第四项比第一项多3个3,……依次类推,第100项就比第一项多99个3,所以第100个数是110013298。 由此我们可以得出这样的规律:等差数列的任一项都等于: 第一项+(这项的项数-1)×公差 我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。 试试看:你能求出数列3,5,7,9……中的第92个数是多少吗? 例3. 已知一列数:2,5,8,11,14,……,44,……,问:44是这列数中的第几个数? 分析与解:显然这是一个等差数列,首项(第一项)是2,公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2,公差3之间有什么关系? 以首项2为标准,第二项比2多1个3,第三项比首项多2个3,第四项比首项多3个3,……,44比首项2多42,多14个3,所以44应排在这个数列中的第15个数。 由此可得,在等差数列中,每一项的项数都等于: (这一项-首项)÷公差+1 这个公式叫做等差数列的项数公式,利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。 试试看:数列7,11,15,……195,共有多少个数? 例4. 观察下面的序号和等式,填括号。 序号 等式 1 2 3 4 ( ) 123635715581124 7111533( )+( )+7983=( ) 分析与解: 表中等式的第1个加数是1,3,5,7,9……,是一个等差数列,公差是2,第二个加数也是一个等差数列,公差是3,第三个加数也是一个等差数列,公差是4,和同样是一个等差数列,公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983,可以根据等差数列的项数公式求出7983是3,7,11,15……这个等差数列的第几项,也就是序号。79833411996。这样我们就可以分别求出各个等差数列的第1996项是多少了,利用通项公式: 11996123991 21996135987 619961917961 综上所述,括号里应填的数是: (1996) (3991)+(5987)+7983=(17961) 例5. 已知数列1,4,3,8,5,12,7,16,……,问:这个数列中第1997个数是多少?第2000个数呢? 分析与解:从整体观察不容易发现它的排列规律,注意观察这个数列的单数项和双数项,它们各自的排列规律为: 单数项:1,3,5,7,…… 双数项:4,8,12,16,…… 显然,它们各自均成等差数列。 为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少,必须先求出它们各自在等差数列中的项数,其中: 第1997个数在等差数列1,3,5,7,……中是第(19971)2999个数; 第2000个数在等差数列4,8,12,16,……中是第200021000个数。 所以,第1997个数是1999121997。 第2000个数是41000144000 [答题时间:40分钟] (二)尝试体验 1. 按规律填数。 (1)1,2,4,( ),16; (2)1,4,9,16,( ),36,49; (3)0,3,7,12,( ),25,33; (4)1,1,2,3,5,8,( ),21,34; (5)2,7,22,64,193,( )。 2. 数列3,6,9,12,15,……,387共有多少个数?其中第50个数是多少? 3. 有数组(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),……,求第100组的三个数之和。 4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数,请将它们找出来: (1)6,12,3,27,21,10,15,30,……; (2)2,3,5,8,12,16,23,30,……。 请做完之后,再看答案 【试题答案】 (二)尝试体验 1. 按规律填数。 (1)1,2,4,( ),16; (2)1,4,9,16,( ),36,49; (3)0,3,7,12,( ),25,33; (4)1,1,2,3,5,8,( ),21,34; (5)2,7,22,64,193,( )。 答案: (1)后一个数是前一个数的2倍:1,2,4,(8),16; (2)从1开始自然数的平方数:1,4,9,16,(25),36,49; (3)相邻两个数的差是逐渐增加的:0,3,7,12,(18),25,33; (4)前两个数之和等于后面的数:1,1,2,3,5,8,(13),21,34; (5)后一个数总是前一个数的3倍多1:2,7,22,64,193,(580)。 2. 数列3,6,9,12,15,……,387共有多少个数?其中第50个数是多少? 387331129 35013150 答:共有129个数,其中第50个数是150。 3. 有数组(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),……,求第100组的三个数之和。 每组第1个数是按自然数顺序排列的,公差是1的等差数列 每组第2个数是平方数 每组第3个数是立方数 第100组的三个数之和是1001001001010100 4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数,请将它们找出来: (1)6,12,3,27,21,10,15,30,……; (2)2,3,5,8,12,16,23,30,……。 答案: (1)这列数中每一个数都是3的倍数,只有10不是。 (2)这列数中从第2项起,每一项都等于相邻的前一项分别加上1,2,3,4,5,……,这样第6个数应该是12+5=17,不是16。所以,16是“与众不同”的数。 23 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/527e93f3cd2f0066f5335a8102d276a2002960f6.html