. 动点最值问题解法探析 一、问题原型： 如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向么地方，可使所用的输气管线最短？ 这个“确定最短路线〞问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上〔线路长度不变〕，确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论： (在线段上时取等号)〔如图1-2〕 、两镇供气，泵站修在管道的什 线段和最小，常见有三种类型： 〔一〕“|定动|+|定动|〞型：两定点到一动点的距离和最小 通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点与另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短〞可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。 1.两个定点+一个动点。 如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点位置，最小距离和，线段。 是的中点，是〔是另一定点〕与的交点即为距离和最小时动点例1〔20XXXX省中考题〕如图2，正方形的边长为，对角线上一动点，则的最小值是。解析：与关于直线对称，连结则，则。连结 ,在中，，，. . 故例2 〔20XXXX市中考题〕如图3，已知：抛物线为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中的最小值为 的对称轴，。 〔1〕 求这条抛物线的函数表达式； 〔2〕已知在对称轴上存在一点解析：〔1〕对称轴为，，使得的周长最小，请求出点，由对称性可知：的坐标。 、、。根据三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：〔2〕与关于对称轴对称，连结， 与对称轴交点即为所求点。 设直线解析式为：。把、代入得，。当时，2.两个定点+两个动点。 ，则 两动点，其中一个随另一个动〔一个主动，一个从动〕，并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点〞类型来解。 例3 如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？ . . 解析：设桥端两动点为直于河岸。 将向上平移河宽长到为平行四边形，来往、两村最短路程为：、，那么点随点而动，等于河宽，且垂，线段与XX岸线的交点即为桥端点位置。四边形值最小。那么，此时。 的顶点，为边例4(20XXXX市中考)在平面角坐标系中，矩形分别在轴、〔1〕若〔2〕若求点，轴的正半轴上，上的一个动点，当为边上的两个动点，且，在坐标原点，顶点的中点。 的坐标； 、为边，的周长最小时，求点，当四边形的周长最小时，的坐标。 解析：作点〔1〕连接关于轴的对称点交轴于点，连接，则，此时，的周长最小。由。 可知〔2〕将，那么向左平移2个单位〔、到动点〕到，则点，定点、。 分别到动点、的距离和等于为定点的距离和，即。从而把“两个定点和两个动点〞类问题转化成“两个定点和一个动点〞类型。 在上截取。此时，连接交轴于，四边形为平行四边形，的周长最小。值最小，则四边形由、可求直线解析式为，当时，，即，则。〔也可以用〔1〕中相似的方法求坐标〕 . 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/57b3ec17eb7101f69e3143323968011ca200f756.html