中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法
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中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。 一、利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 例1:(北京市石景山区2010年数学期中练习)在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积; (2)现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半? (3)在第(2)问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少? 点评:此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置,有三种情况。 (1)当0﹤t≦6时,P、Q分别在AB、BC边上; (2)当6﹤t≦8时,P、Q分别在AB延长线上和BC边上; (3)当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解. B C A 例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发,沿A →B → C →E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y, (1)写出y与x的关系式 (2)求当y=1时,x的值等于多少? 3点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上. 例3:(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,动点P从B点出发,沿梯形的边由B→C → D → A 运动,设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ,那么△ABC 的面积为( ) A.32 B.18 C.16 D.10 y B 例4:(09齐齐哈尔)直线时从O点出发,同时到达3yx6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同4运动,速度为每秒1个单位长A点,运动停止.点Q沿线段OA P O Q A x 度,点P沿路线O→B→(1)直接写出A、B两点的坐标; A运动.(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式; (3)当S48时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标. 5点评:本题关键是区分点P的位置:点P在OB上,点P在BA上。 1ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运动终止),过点M、N分别作AB边的垂例5:(2009宁夏)已知:等边三角形线,与△ABC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为t秒. (1)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形C Q 1 / 6 P A M N B MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. 解:(1)过点C作CDAB,垂足为D.则AD2, 当MN运动到被CD垂直平分时,四边形MNQP是矩形,即AM3时, 2四边形MNQP是矩形,t3秒时,四边形MNQP是矩形. 2P C Q PMAMtan60°=333,S四边形MNQP322 13(PMQN·)MN3t 22A (2)1°当0t1时,S四边形MNQPM C N P Q B 2°当1≤t≤2时,S四边形MNQP3°当2t3时,S四边形MNQP13(PMQN·)MN3 2217(PMQN·)MN3t3 22A M N B 点评:此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。 例6:(2009四川乐山).如图(15),在梯形的坡度i动点P从A出发以3∶4,ABCD中,DC∥AB,A90°,AD6厘米,DC4厘米,BCAB方向向点B运动,动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿2厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动D点也随之停止.设动点运动的时间为t秒. (1)求边BC的长; (2)当t为何值时,PC与BQ相互平分; CQB图(3) A(3)连结PQ,设△PBQ的面积为大值?最大值是多少? 6. 解:(1)作CE探求y与t的函数关系式,求t为何值时,y有最y,PEAB于点E,如图(3)所示,则四边形AECD为矩形. ∶4,又i3AECD4,CEDA6.在Rt△CEB中,由勾股定理得:BCCE3. EB8,AB12.EB42分 CE2EB210.(2)假设PC与BQ相互平分.由DC∥AB,则PBCQ是平行四边形(此时Q在CD上). ············· 即CQBP,3t10122t.解得t2222,即t秒时,PC与BQ相互平分. 55(3)①当Q在BC上,即0≤t≤10时,作QFAB于F,则CE∥QF. 3 2 / 6 QFBQQF3t9t119t981S△PBQPB·QF(122t·)=(t3)2.,.QF.即 225CEBC6105553秒时,S△PBQ有最大值为 当t81厘米2. 5②当Q在CD上,即101411·CE(122t)6=366t.≤t≤时,S△PBQPB 22331010616厘米2.秒时,S△PBQ有最大值为36 33易知S随t的增大而减小.故当t925410tt,0≤t5538116,y 514106t36.≤t≤33综上,当t3时,S△PBQ有最大值为81厘米2. 5AC10厘米,BC8厘米,点D为AB的A 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。 例7:(包头)如图,已知△ABC中,AB中点. (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由; D Q P C B ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等? (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇? 解:(1)①∵t∵1秒,∴BPCQ313厘米, AB10厘米,点D为AB的中点,∴BD5厘米. 又∵PCBCBP,BC8厘米,∴PC835厘米,∴PCBD. 又∵ABAC,∴BC,∴△BPD≌△CQP. vQ, ∴BPCQ, ②∵vP又∵△BPD≌△CQP,BC,则BP∴点P,点Q运动的时间tPC4,CQBD5, BP4CQ515秒,∴vQ厘米/秒. 4433t31580x3x210,解得x秒. 34 3 / 6 (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/f43e9a17a300a6c30c229f67.html