波利亚的解题理论（讲稿） 同学们好！今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。 首先，让我们了解一下波利亚的生平。 乔治·波利亚（George Polya,1887-1985)美籍匈牙利数学家，生于匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学，1912年获数学博士学位。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家，也是享有国际盛誉的数学方法论大师，为数学方法论的现代研究，特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。 他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论，发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944）、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961）等。其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题，而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。在数学方面，对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。 在数学解题研究领域，波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。这里主要介绍他的解题理论。 学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。 波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事”（苏格拉底语），由此，数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力。 为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书，与1948年出版，风靡世界。其中“怎样解题”表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。 概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。所以，让我们详细学习一下“怎样解题”表。 “怎样解题”表主要由四部分构成：了解问题，拟定计划，实现计划，回顾。 了解问题包括 ①未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？ ②可能满足什么条件？ ③画一个图，引入适当的符号 拟定计划包括： ❖ 你以前见过它吗？ ❖ 你知道什么有关的问题吗？ ❖ 注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题。 ❖ 这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？ ❖ 你可以改述这个问题吗？回到定义！ ❖ 你若不能解决这问题，试先解一个有关的问题。你能想出一个更容易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能解决问题的一部分吗？ ❖ 你用了全部条件吗？ 实现计划包括： ❖ 实行你的解决计划，校核每一步骤。 回顾包括： ❖ 你能校核结果吗？你能校核结果吗？ ❖ 你能用不同的方法得出结果吗？ ❖ 你能应用这个结果或方法到别的问题上吗？ 在对“怎样解题”表进行分析的基础上，我们按照“怎样解题”表中的解题程序来解决一个生活中的实际问题，以此更好地体会和运用“怎样解题”进行解题。 例如： 有两个容积分别是4升和9升的容器，怎样从一条河中恰好取出6升水？ 首先我们需要弄清问题。 通读这个问题，可以得到： 已知数：一个4升的容器 一个9升的容器 需满足条件：恰好取出6升水 假设：有两个具有相同底面的的圆柱形容器，其高之比为9︰4（如下图所示） 再次，我问需要分析思考这个问题，拟定计划。 联系我们所学知识，进行回顾联想：我们可以将大桶装满，再将大桶的水尽可能多的倒入小桶中，这样我们可以得到5升水。我们能不能得到6升？ 通过上面的思考，可寻找思路：设想我们面前大桶里有6升水，而小桶是空的。从前面的从前面的什么情况我们可以得到6升水？我们可以将大桶装满9升水，但必须再倒出3升水。为了做到这一点，我们的小桶中必须是1升水！ 因此我们想到，将水在两个桶之间倒来倒去时，我们也许已经做了类似的事情，而正是在现在这一时刻，我们想起图（2）的这种情况可由图（1）中所示的方法产生：将大桶装满，然后倒出4升水到小桶中，再将小桶中的水倒入河中。这样连续两次，我们最终遇到了某些已知的东西，并且遵循倒着干的分析方法，找到了适当的操作顺序。 确实，我们已经以倒过来的次序找到了合适的顺序，剩下来要做的只是把这一过程反过来，从我们在分析中最后到达的点开始。首先，我们施行图A所示的操作，就得到了图B，然后我们过渡到图C，再过渡到图D，最后过渡到图E，沿着我们的步骤回溯上去，我们最终成功地得到了要求的东西，成功实现了计划。 在上述过程中无一有些值得深思的地方。迂回前进、脱离目标、倒着干、不遵循通往目标的直接道路走，会造成某种心理上的障碍。在我们发现了适当的操作顺序后，思维必须遵循与实际操作恰好相反的次序进行。由于学生对这种逆向的顺序有一种心里上的反感，所以如果不小心地提出的话，可能会使一个相当有能力的学生都难以理解这个方法 然而通过倒着干来解决一道具体题目并不需要天才，而是一种在每个人能力所及限度内的常识性程序，任何有一点常识的人都能做到。我们专注于所要求的目标，我们想象我们想要的最后位置，我们从前面哪个位置可以到达这里？提出这个问题是很自然的，而提出这个问题时我们就在倒着干了。十分初级的题目可以很自然地引导我们倒着干。 波利亚的解题理论，我们今天进行了较为详细的学习，但要深入全面的了解认识运用它，还需要我们课下的加倍学习思考实践。这节课中，大家有不懂的问题，我们课下再共同探讨。 谢谢！ 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/5cc8ca9f86254b35eefdc8d376eeaeaad0f31645.html