最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ B军营将军A河 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ BAP 【问题分析】 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB BAPA' 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） BA端点P折点A' 【思路概述】 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． AP'MAPBOMPBP''ONN 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． BNPMA 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M． O P'NBPOMP''A 当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8． P'BNPOMAP'' 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/632dbcdcfd00bed5b9f3f90f76c66137ef064fed.html