不定积分基本公式证明 不定积分基本公式是微积分中的重要公式之一，它描述了一个函数的原函数与该函数的积分之间的关系。不定积分基本公式可以用于求解许多复杂的积分问题。本文将介绍不定积分基本公式的证明。 不定积分基本公式的表述为：若$f(x)$是一个连续函数，则$f(x)$的原函数为$F(x)$，则有$$int{f(x)dx} = F(x) + C$$其中，$C$为任意常数。 不定积分基本公式的证明可以分为两个步骤： 第一步：证明$frac{d}{dx}(F(x)+C) = f(x)$ 由于$f(x)$为连续函数，因此根据微积分基本定理可知，$frac{d}{dx}F(x) = f(x)$。而由于$C$为任意常数，$frac{d}{dx}C = 0$，因此有$$frac{d}{dx}(F(x)+C) = frac{d}{dx}F(x) + frac{d}{dx}C = f(x)+0 = f(x)$$ 第二步：证明任意一个原函数$F(x)$都可以表示为$F(x) = int{f(x)dx} + C$ 设$G(x) = F(x) - int{f(x)dx}$，则$$frac{d}{dx}G(x) = frac{d}{dx}F(x) - frac{d}{dx}int{f(x)dx}$$$$= f(x) - f(x) = 0$$ 因此，$G(x)$为常数函数，即存在一个常数$C$，使得$G(x) = C$，即$$F(x) - int{f(x)dx} = C$$ 移项即可得$$F(x) = int{f(x)dx} + C$$ 证毕。 - 1 - 综上所述，不定积分基本公式的证明可以分为两个步骤：证明$frac{d}{dx}(F(x)+C) = f(x)$和证明任意一个原函数$F(x)$都可以表示为$F(x) = int{f(x)dx} + C$。 - 2 - 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/661ee92f757f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9f3b.html