五班级数学思维训练学问点整理〔上册〕：行程问题【上海小升初数学思维训练必读】 这一讲中，我们将要争辩的是行程问题中一些综合性较强的题目。 为此，我们需要先回忆一下已学过的根本数量关系： 路程=速度时间； 总路程=速度和时间； 路程差=速度差追准时间 例1 小华在8点到9点之间开头解一道题，当时时针、分针正好成始终线，解完题时两针正好第一次重合.问：小明解这道题用了多长时间？ 分析：这道题事实上是一个行程问题.开头时两针成始终线，最终两针第一次重合.因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又由于时针每小时走5分格，即它的速度是1/12分格/分钟，而分针的速度为1分格/分钟。所以，当它们第一次重合时，确定是分针从后面追上时针.这是一个追及问题，追准时间就是小明的解题时间。 解：30〔1-1/12〕=3011/12=32又8/11〔分钟〕 例2 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时动身相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。 画图如下： 分析： 结合上图，假设我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，那么由于过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于〔40＋60〕15=1500〔米〕。 又由于乙和丙是同时从点B动身的，在违反的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在违反的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-40＝10〔米/分〕，这样就可求出乙从B到C的时间为150010＝150〔分钟〕，也就是甲、乙二人分别从A、B动身到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。 解：①甲和丙15分钟的相遇路程： 〔40＋60〕15=1500〔米〕。 ②乙和丙的速度差： 50-40=10〔米/分钟〕。 ③甲和乙的相遇时间： 150010=150〔分钟〕。 ④A、B两地间的距离：〔50＋60〕150＝16500〔米〕＝16.5千米。 答：A、B两地间的距离是16.5千米. 例3 甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站动身相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又连续前进，小强走到丙站马上返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？ 先画图如下： 分析： 结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察： ①第一阶段从动身到二人相遇：小强走的路程=一个甲、乙距离+100米，小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。 ②其次阶段从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米，小明走的路程=100+300=400〔米〕。 从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在其次阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明其次阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走4002第 11 页 ＝200〔米〕，从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300〔米〕。解略。 例4 甲、乙、丙三人进展200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，假设甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 分析： 在违反的时间内，乙行了〔200-20〕=180〔米〕，丙行了200-25=175〔米〕，那么丙的速度是乙的速度的175180=35/36， 那么，在乙走20米的时间内，丙只能走2035/36〔米〕，因此，当乙到达终点时，丙离终点还有25-2035/36=5又5/9米 例5 甲、乙二人分别从A、B两地同时动身，假设两人同向而行，甲26分钟赶上乙；假设两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 先画图如下： 分析： 假设设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，那么由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D那么用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为〔26-6〕=20〔分〕。 同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50〔26＋6〕=1600〔米〕.所以，甲的速度为160020＝80〔米/分〕，由此可求出A、B间的距离。 解：50〔26+6〕〔26-6〕=503220＝80〔米/分〕 〔80+50〕6＝1306=780〔米〕 答：A、B间的距离为780米。 例6 一条大路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过 骑车人，假设公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 分析： 要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告知我们这两个条件，如何求出这两个量呢？ 解：由题可知：相邻两汽车之间的距离〔以下简称间隔距离〕是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。 对于骑车人可作同样的分析.因此，假设我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人〔单位都是米/分钟〕，那么： 间隔距离=〔V汽-V人〕6〔米〕，间隔距离=〔V汽-V自〕10〔米〕，V自=3V人。 综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，那么：间隔距离=〔V汽-1/6V汽〕6=5V汽〔米〕 所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离V汽=5V汽〔米〕V汽〔米/分钟〕=5〔分钟〕。 例7 甲、乙二人沿铁路相向而行，速度违反，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开头再过几分钟甲乙二人相遇？ 分析 要求过几分钟甲、乙二人相遇，就必需求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系，而与此相关联的是火车的运动，只有通过火车的运动才能求出第 12 页 甲、乙二人的距离.火车的运行时间是已知的，因此必需求出其速度，至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系.由于本问题较难，故分步详解如下： ①求出火车速度V车与甲、乙二人速度V人的关系，设火车车长为l，那么： 〔i〕火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：故l＝〔V车-V人〕8；〔1〕 〔ii〕火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题：故l=〔V车+V人〕7.〔2〕 由〔1〕、〔2〕可得：8〔V车-V人〕＝7〔V车+V人〕，所以，V车=l5V人。 ②火车头遇到甲处与火车头遇到乙处之间的距离是：〔8+56O〕〔V车+V人〕=30816V人=4928V人。 ③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离。 火车头遇甲后，又经过〔8+560〕秒后，火车头才遇乙，所以，火车头遇到乙时，甲、乙二人之间的距离为：4928V人-2〔8＋560〕V人=4312V人。 ④求甲、乙二人过几分钟相遇？4312V人2V人=2156〔秒〕=35又28/30分钟 做习题 第 13 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/76d02ce20f22590102020740be1e650e52eacfa3.html