排列组合题期末复习
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排列、组合、二项式定理复习 一、排列组合知识 1.两个原理 （分类记数原理和分步记数原理） 2.两个概念（排列和组合的概念） 学习中注意突出几点：(1)如何确定元素和位置的关系， •元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。 例1（2007全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A、10种 B、20种 C、25种 D、32种 （2）两个概念有何差异（组成的元素相同，但与顺序关系不同），初步形成两者的关系或关系式。 例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 3.两类基本公式 排列数公式： 规定：0！=1 组合数公式： 特别地：CnnCn01 4.两类基本性质. 第 1 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 组合性质1: 组合性质2: 例3求和：C2+C3+C4+„„+C100. 二、排列组合典型题解答策略 排列组合应用问题，大致可分为三类： （1） 简单的排列或组合题，可以根据公式直接求结果（不带限制条件） （2） 带有限制条件的排列或组合题，有两种计算方法 直接法：把符合限制条件的排列或组合数直接计算出来。 间接法：先暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后从中减去所有不符合条件的排列或组合种数。 （3） 排列组合综合问题，采取先选后排的原则，要作到合理分类。 1.特殊元素和特殊位置优先法 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数 第 2 页 共 12 页 2222排列、组合、二项式定理复习 2.相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列，要注意相邻元素内部间也存在排列。 例2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（ ） A． 60种 B．48种 C．36种 D．24种 3.相离问题插空法 元素相离问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端。 例3．七个人并排站成一行，如果甲、乙两个必须不相邻，那么不同排法种数是（ ） A．1440 B.3600 C.4820 D.4800 4．定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素保持一定顺序，可用缩小倍数的方法。 例4．A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有 （ ） A．24种 B.60种 C.90种 D.120种 第 3 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 5.重排问题求幂法 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法? 6．多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理 例6．6个不同元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同排法是？ A. 36 B. 120 C. 720 D. 1440 7.排列组合混合问题先选后排法 例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 8. 指标问题 “隔板法” 例8. 有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 9.正难则反总体淘汰法 例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？ 10.穷举法 例10.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法? 三、排列、组合的专题训练。 第 4 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 •第一个专题 排数字问题 例：用0，1，2，3，4，5这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ (5)可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？ •第二个专题 排队问题 •例：四名男生和三名女生按要求站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？ (1)全体排一排： ______________ (２)选５人排一排：_________________ (３)甲站在正中间： ____________ (４)甲只能站在正中间或两头： (５)甲既不在排头也不在排尾： (６)甲、乙必须在两头： ______________ (７)甲、乙不站排头和排尾： ____________ (８)甲不在排头、乙不在排尾： (９)甲在乙的右边： ________________ (１0)甲、乙必须相邻： _____________ (１１)甲、乙不能相邻： (１2．男女生各站在一起： (１3)男生必排在一起： ______________ 第 5 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 (１4)男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)：_______________ (15)甲、乙、丙3人自左至右顺序不变: (16)三名男生身高互不相同，且从左到右按从高到矮顺序排： _____________ (17)排成前后两排，前3人后4人： ___________________ 第三个专题 抽取问题 例：按下列条件，从12人中选出5人，有多少 种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 第四个专题 分组与分配问题 例：有六本不同的书， ①平均分成3堆，每堆两本，有多少种分法？ ②分成3堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本？ ③分成3堆，一堆一本，一堆一本，一堆四本？ ④分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？ ⑤分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？ ⑥分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，1人得3本，有多少种分法？ 第 6 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 ⑦分给4人，其中2人各1本，2人各两本，有多少种分法？ 四、二项式定理： （一）知识要求 1.求二项展开式中指定的项，把握二项展开式的指数与项数的变化规律，通常是先根据已知条件求r ,再求Tr1，有时还需要先求n，再求r ,才能求出Tr1。 2.有些三项式展开问题可以通过变形成二项式问题加以解决。 3.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段。要注意“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别。 4.近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项。 5.用二项式定理证明整除性问题，一般将被除式变为有关除式的二项式形式再展开。 6.有理项的求法需要解简单的不定方程，应充分注意奇偶性、整除性的有关知识。 例1.(1) (x31x)12展开式中的常数项为（ ） 3(2)若(ax－1)的展开式中x的系数是－80，则实数a的值是 ． 第 7 页 共 12 页 5排列、组合、二项式定理复习 (3) (1+x)+(1+x)+(1+x)+„„+(1+x)展开式中x项的系数为 ． 252(4) (1+x+x)( (1—x)展开式中x项的系数为 727例2.已知12xa0a1xa2xa7x,求： ①a1a2a7, ②a1a3a5a7, ③a0a2a4a6, ④a0a1a7. （二）对二项式定理公式应用的考察题型 1.不回避常规，考查二项展开式中的系数。 (1)（08天津卷12）(x2)5的二项展开式中，x3的系数是x2362___________（用数字作答）． (2)（08四川卷13）12x31x4展开式中______________。 (3)（08全国Ⅱ卷理科第13为 ．（用数字作答） (4)（0712天津理科）若xax6x2的系数为-1题）(12x)xx28的展开式中常数项的二项展开式中x2的系数为5，则a 2（用数字作答）． （5）（07湖北理科1223x题）如果x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ） Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 第 8 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 （6）（08广东卷10）已知(1kx2)6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，则k ． 2.对二项式系数的考察 （1）（08福建卷13）若(x-2)=a3x+ax+a3x+a2x+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=______.(用数字作答) （2）（07江西理科第43题）已知x3xn555432展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ） Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 （3）（07江西文科第5题）设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11， 则a0a1a2a11的值为（ ） Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ．1 Ｄ．2 五、10年高考练习 1.（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种 2.（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有[来源:Z。xx（A）30种 第 9 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 （B）36种 （C）42种 （D）48种 3.（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 4.（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A）A88A92 （B）A88C92 （C） A88A72 （D）A88C72 5.（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 6.（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的第 10 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 （A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种 7.（2010全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 8.（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 （A）36 （B）32 （C）28 （D）24 9.（2010湖北文数）6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 A．54 B. 65 C. 565432 D.65432 210.（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B.126 C.90 D.54 x4项的系数的和为11.（2010江西理数）6. 2x展开式中不含．．（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 812.（2010重庆文数）（1）(x1)4的展开式中x2的系数为 （A）4 （B）6 第 11 页 共 12 页 排列、组合、二项式定理复习 （C）10 （D）20 13.（2010全国卷1文数）(5)(1x)4(1是 (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 14.（2010全国卷1理数）(5)(12是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 x)3(13x)5的展开式中x)3的展开式 x2的系数x的系数第 12 页 共 12 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/7dd99afc4a649b6648d7c1c708a1284ac85005d9.html