2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题解答 问题1：如图1，设P的坐标为 (x, y)， (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为 minf(x,y)kyx2(ay)2(lx)2(by)2 只需考虑1k2的情形（不妨假设ab）。对上述二元费用函数求偏导，令 xlxfx,y0x2222lxbyxay （＊） aybyfyx,yk02222lxbyxay结合图1，将（＊）式改写为 coscos0，易知：sinsinkk4k2 sinsin,coscos22所以 tantank4k2，故经过AP和BP的直线方程分别为： yak4kk4k22x ① ybxl ② y1klab24k2 14k2ba,联立①、②解方程组得交点xl2k因为 x ≥ 0，y ≥ 0，所以 l应满足： l4k2ba 且lk4k2ba k4k2（a）当 l(ba)时，此时交点在y轴上，将x0代入①式，可得P(0,a)，即交k点P与A点重合（如图2）。 fmin(ba)2l2ka 4k2(b) 当(ba)lk4k2。(ba)时，交点在梯形内（如图1）k)， l4k21klP(ba),(ab22k24k2因为 APBPxlxl2l，所以模型简化为： 2coscoscos4k2l4k2 minf(x,y)ky， fmin(c) 当l1(ab)k4k2l 24k2。 (ba)时，此时交点在x轴上，即无共用管线的情形（如图3）k 2 P(al,0)，fmin(ab)2l2。 ab对于共用管道费用与非共用管道费用相同的情形，只需在上式中令k1。 问题2：对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更： (a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。附加费用采用了三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如表1所示。 表1 三家工程咨询公司估计的附加费用 工程咨询公司 附加费用（万元/千米） 公司一 21 公司二 24 公司三 20 为合理估计附加费用，我们采用对三家公司进行加权求和的方法进行估计。权重的估计采用层次分析法确定。 由于公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。不同资质的公司信誉会不同，如甲级注册资本不少于600万元人民币；乙级注册资本不少于300万元人民币。则这三家公司的权重会不同，根据经验可设甲级资质公司的重要程度为乙级资质公司重要程度的2倍，而两家乙级资质公司重要程度相同。则构成的成对比较矩阵为： 122 A1/211 1/211该矩阵最大特征值为3，为一致矩阵，其一致性指标CI=0。则该矩阵任意列向量都可以作为最大特征值对应的特征向量，将任意列向量归一化后作为权重。 3 因此权重向量为 W(0.5,0.25,0.25)。附加费用估计为： w00.5210.25240.252021.5(万元)。 用MATLAB求最大特征值、权向量和附加费用值，程序如下： A=[1,2,2;1/2,1,1;1/2,1,1]; [V,D]=eig(A); [p,k]=max(eig(A)); v=V(:,k); w=v/sum(v); CI=(p-3)/2; RI=0.58; CR=CI/RI; CR,p,w CR = 0 p = 3 w = 0.5000 0.2500 0.2500 a=[21,24,20]; w0=a*w w0 = 21.5000 4 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图4）。 图4 模型一：一般情况下，连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取上述问题1(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型一为 1(az3c)t(bz)2(lc)2 221.57.2其中t表示城乡建设费用的比值（t）。 7.2ming(z) 求导，令gz1t(bz)lc 0，得驻点z*b2222(bz)(lc)4t1时，g(z)取得最小值 当 z*blc4t12g(z*)1(ab3c4t21(lc)) 2或对模型用MATLAB软件进行数值求解。程序如下： g=inline('0.5*(5+z+3^0.5*15)+(21.5+7.2)/7.2*(5^2+(8-z)^2)^0.5','z'); [z,g]=fminbnd(g,0,15); x=0.5*(15-3^0.5*(z-5)); y=0.5*(5+z-15/(3^0.5)); f=7.2*g; x,y,z,f x =5.4494 y =1.8538 5 z =7.3678 f =282.6973 结果为 P(5.4494,1.8538),Q(7.3678,0),用LINGO程序求解，程序如下： model: a=5;b=8;c=15;l=20; t=(7.2+21.5)/7.2; u=0.5*(a+z+3^0.5*c); v=t*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2); g=u+v; min=g; x=0.5*(c-(z-a)*3^0.5); y=0.5*(a+z-c/(3^0.5)); f=7.2*g; end 运行结果： X 5. 0. Y 1. 0.E-07 F 282.6973 0. fmin282.6973。 Z 7. 0. 模型二：如图4，设P点坐标为(x, y)，Q点坐标为 (z, 0)，t表示城乡建设费用的比值，因此管道总费用最省的数学模型二为 minf(x,y,z)其中tx2(ay)2(cx)2(zy)2yt(lc)2(bz)2 28.7。 7.2用LINGO程序求解，程序如下： model: a=5;b=8;c=15;l=20; t=28.7/7.2; f1=@sqrt(x^2+(a-y)^2); f2=@sqrt((c-x)^2+(z-y)^2); f3=y; f4=t*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2); f=f1+f2+f3+f4; M=7.2*f; min=M; end 运行结果： X 5. 0.E-08 Y 1. 0.E-08 Z 7. -0.E-08 6 F 39.26352 0. M 282.6973 两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(5.4462,1.8556)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(5.4593,1.8481)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为280.1771万元。 最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。 问题3： 考虑各部分管道费率不等的情况。 分别用k1,k2,k3,k4记AP、PQ、PH、BQ段管道的费率，并设P和Q点的坐标分别为(x, y)、(c,z) (如图5)，则总费用的表达式为 F(x,y,z)k1x2(ay)2k2(cx)2(zy)2k3yk4(lc)2(bz)2 其中k15.6, k26.0,k37.2,k46.021.527.5。 图5 用LINGO程序求解，程序如下： model: a=5;b=8;c=15;l=20; k1=5.6;k2=6.0;k3=7.2;k4=27.5; f1=k1*@sqrt(x^2+(a-y)^2); f2=k2*@sqrt((c-x)^2+(z-y)^2); f3=k3*y; f4=k4*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2); F=f1+f2+f3+f4; min=F; 7 end 运行结果： X 6. 0. Y 0. 0. Z 7. 0. F 251.9685 0. 两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(6.7310,0.1409)，Q点坐标为 (15.0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(6.7424,0.1327)，Q点坐标为 (15.0000, 7.2659)，最小费用为249.4422万元。 最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。 8 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/7e11bc10ed06eff9aef8941ea76e58fafab045af.html