1.1.2 余弦定理 授课人：陈淼云 【课标要求】 1．通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理． 2．会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 【核心扫描】 1．应用余弦定理解三角形．(重点) 2．本节内容常与三角函数、三角恒等变换、正弦定理 等知识结合．(难点) 3．应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点) 一、自学导引 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们的夹角的_____的积的_____，即 a2＝_______________，b2＝ _______________ ， c2＝ _______________. 2.余弦定理的推论 试一试：：若△ABC为钝角三角形，且A>90°，则a，b，c三边满足什么关系？ 提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A>90°， b2＋c2－a2222∴cos A<0，即<0，∴b＋c<a. 2bc3.余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题： (1)已知三角形的三边，求其_______． (2)已知_____和_____，求第三边和其他两个角． 想一想：：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 提示：若△ABC为直角三角形，且C＝90°，则cos C＝ 222 a＋b－c＝0，即a2＋b2＝c2.故余弦定理是勾股定理的2ab 推广，勾股定理是余弦定理的特例． 二、名师点拨： 1.余弦定理的理解 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具． (1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． (2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛． 2.用坐标法证明余弦定理 如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)， C(bcos A，bsin A)．由两点间距离公式得 a2＝|BC|2 ＝(bcos A－c)2＋(bsin A－0)2 ＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccos A＋c2 ＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证 b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C． 三、例题讲解： 题型一 已知两边及一角解三角形 例1.在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a. [思路探索] 可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A、角C. 222 解 法一 由余弦定理b＝a＋c－2accos B， 得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos 30°， 2 ∴a－9a＋18＝0，得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°. 16× 2asin B当a＝6时，由正弦定理得sin A＝＝＝1. b3 ，∴C＝60°. ∴A＝90° 133法二 由b<c，B＝30°，b>csin 30°＝33×＝知本题有两解． 22 133× 2csin B3＝，∴C＝60°或120°， 由正弦定理得sin C＝b＝32 时，A＝90°， 当C＝60° 由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋332＝6， 变式：在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c. 题型二 已知三边(三边关系)解三角形 已知△ABC的三边长为a＝23，b＝22，c＝6 ＋2，求△ABC的各角度数． [思路探索] 利用余弦定理的推论解题． b2＋c2－a2 解 由余弦定理得：cos A＝ 2bc 222 ＝22＋6＋2－23＝1， 22×22×6＋2 ∴A＝60°. a2＋c2－b2232＋6＋22－2222 cos B＝＝＝， 2ac22×23×6＋2 ∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/89462e6c7e192279168884868762caaedc33ba42.html