数理方程练习题(作业)

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数理方程练习题一（2009研）

1. 设uu(x,y)，求二阶线性方程

uxy

2

0

的一般解。

2. 设 uf(xy) 满足Laplace方程

ux

22

2

2



uy

2

2

0

求函数u.

3. 求Cauchy问题

2

uauxx0(x,t)R(0,)tt2uxutt0cosxxRt0

的解．

4. 求解Cauchy问题

utta2uxxtcosx(x,t)R(0,)

x0cosx

ut0xutt0

x01

5. 解在半无界问题

ua2u0(x,t)R(0,)ttxx



ut0xutt0sinx(0x)

(t0)ux00

6. 求解二维Cauchy问题

2

uttau0

ut

ut00

(x,y,t)R(0,)

t0

2

x(xy)

2

(x,y)R

2

求下列函数的Fourier变换

eax

1 f(x)

0

x0x0

a0

2 a(x)

10

2

|x|a|x|a

3 f(x)ex

7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研

究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。

utta2uxx00xl,t0

u(x,0)(x),ut(x,0)(x)0xlu(0,t)u(l,t)0t0

xx

8. 散热片的横截面为矩形。它的一边y=b处于较高温度V，其他三边b=0，x=0，x=a则

处于冷却介质中因而保持较低的温度v求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题

0xa;0ybuxxuyy0



0ybu(0,y)v,u(a,y)v

u(x,0)v,u(x,b)V(x)0xa

9. 求解定解问题

x2

uauAcossintxxtt

l



uxx00,uxxl0



utt00ut00,



10. 求解定解问题

ua2uAsint

txx

ux00,uxxl0 ut00

11. 弦的x=0端固定而x=l端受迫作谐振动Asint，则弦的初始位移和初始速度都是零，

求弦的振动。这个定解问题是

ua2u0ttxx

ux00,uxlAsint ut00,utt00

12. 在圆域0上求解泊松方程的边值问题

22

uab(xy)



uc0

13. 在矩形域0xa,0yb上求解泊松方程的边值问题

u2

ux00,uu0,uy0

xa

00

yxb

14. 求解固有值问题

y''y0(lxl)

''

y(l)y(l)0

15. 求解定解问题

2

2u2u

(0xl,t0),2a2

tx

u(t,0)u(t,l)0, 

u(0,x)(x),u(0,x)(x).

t



16. 求解定解问题

uttauxx(x,t0),

 u(0,x)(x),u(0,x)(x)(x)t

17. 求解定解问题

2

2u2u

(0xl,t0),2a2

tx

u(t,0)u(t,l)0, 

u(0,x)(x),u(0,x)(x).

t



18. 解环形域axyb内的定解问题

2222

2u2u22

12(xy),22

xy

u

u|x2y2a21,|x2y2b20.n

19. 解固有值问题

x2y''xy'y0(0xe),



y(1)y(e)0.

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/97d62435a46e58fafab069dc5022aaea998f4108.html

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