2019 年江苏省中学生数学夏令营测试卷 考试时间：2019 年 7 月 20 日 8:30 至 11:00 一．填空题：本答题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．计算： 2．若虚数 满足 ． ，则 ． 作直线 ，则 3．设 为坐标原点，点 为直线 上一动点，过点 两点．若线 长为 的垂线，与以 的方程为 4．设 是 为直径的 相交于 ． 的外心，满足 ， 若 ． ． ，则 的最小值为 上的点， ． ． ． ， ，则 5．设非零实数 面积的最大值为 满足 6．在 若 中， ，当 ， 是线段 的面积为 7．在 取到最大值时， 中， 的最小值为 8．一个圆桌有十二个座位，编号为 1 至 12．现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有 种． 【答案】 1． ； 2． ； 3． ； 7． ； ； 4． ； 8． ． 5． ； 6． 二．解答题：本答题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分． 9．设数 （ ， ）满足： ①， 的大小． ②． 试比较 与 【析】由①得2 = +1 − ，代入②×2 得 +2 − +1 = 2 + +1 − ， 即： +2 = 2 +1 + ，且 1 = 1, 2 = 3． 另一方面由②得到 = +1 − ，代入①得 +2 − +1 = +1 − + 2 ， 即： +2 = 2 +1 + ，且 1 = 1, 2 = 2． 令 = 1 + √2, = 1 − √2，注意到 + = 2, − = 2√2, = −1， 于是 = + + ， = − − ．进而可以得到 2 − 2 2 = ( ) = (−1) ． 根据上述{ }, { }的递推关系及初始条件，我们知道{ }, { }均为递增的正整数数列，且 | 2 − 2 2 | = | 2 − 2 2|， ③ +1 +1 1 +1+√2 +1 < 1 +√2 ， ④ ⑤ 1 +1 < ． 1 把上述③④⑤式相乘得 +1 | +1 − √2| < | − √2| ． 取 ． ，整理即得 10．求所有的正整数 ，使得 为素数的 次幂． 【析】易知 ，不妨设 ，则 ． 设 为素数， ， ，使得 ， ． 若 ，则 ，矛盾．故 ．即 ， ， ． 注意到 ，且 为 的倍数，故 ． 若 ，由于 ，故 ．进而 ， 所以 ，于是 ， ， ． 若 ，则： ． 而 ，故： ． 注意到 ，故： ． 再注意到 ，于是： ， ， 矛盾！ 综上所述，满足条件的 仅有 或 ． 11．如图， 点 为的内切圆 边的高， 与 边相切于 A 中点，点 为直I F M 线 与 的交点（异于点 ）． B 求证： 平分 ． D E C 【析】直线 的性质．延 交 ．如图． 比较特殊，我们先研究这条直线 于 、交 的延长线于 I A F M B T D E C 考察直 截 ，并注意到 ， 由 Menelaus 定理 ． J 而 为 的内角平分线，所以 为 的外角平分线，从而 A 为 边的旁心． F 进 四点共圆，设为 外接圆 ，则 的交 ，，圆心 与 中点 B I N O M 为直径．取 T D E C S ，故点 在 上．如图． ． J 由圆幂定理 注意到 ， 中点 ， ，则 ， 这表 四点共圆．如图 4 A F I O M N B T D E C S K J 由鸡爪定理， 为 中点．而 ，故点 中点，所以 的中垂线上，所以 中，由于 ，所以． 从而 平分 ，而 ． 在圆内接四边形 平分 ． ，即 12．设正实数 满足 ．证明： ． 【析】由均值不等式 ． 所以只要证明： 熟知 ． ． 所以只要证明： ， 由已知等式 得到 ． 所以只要证明： ． 整理后即证： ． 熟知 ．事实上，由于 ，故 ． 于是只要证明： 故原不等式成立． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9f748df92bea81c758f5f61fb7360b4c2f3f2a4d.html