2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题 第一天 1.设奇数n3,求证: 2.对正整数n,用S(n)表示0~n1在十进制的数码和之和,求证:对任意正整数mn, 1arccos1是无理数. nS(mn)S(m)S(n)n. 3.如图,在ABC中,BC是最长边,设AC的中垂线与直线BC,AB分别交于点D,E,B关于此中垂线的对称点为F.设AB的中垂线与直线BC,AC分别交于点J,K,C关于此中垂线的对称点为L.设BL,CF交于点N,BJL的外接圆与直线JN交于另一点R,CDF的外接圆与直线DN交于另一点Q.过N作BC的平行线交直线EK于点P,设M是FL,BC的交点,l是ABC外接圆平行于BC的直径,求证:直线QR,MP,l交于一点. 4.将一个20232023方格表的每个黑白染色,满足每个22小正方形中均至少有一个黑格,且每个黑格均在22小黑色正方形中(四个格都是黑格)中.记ai为每行中黑格的个数,bi为每列中黑格的个数,求(ai2bi2)的最大值. i120231 第二天 5.给定正整数nm,求所有的数组(i1,i2,足 6.是否存在质数p和非零整系数多项式f,使得对任意正整数,1,2,,im)(1i1i2nimn),使得对任意满xi1ni0的实数组(x1,x2,,xn)(x1x2xn),都有xik0. k1,p中至少有p2023个正整数n使得pf(n)? 7.魔术师和小美在2N2N的方格表中放入12或21的骨牌.魔术师先放入一些两两无公共格的骨牌,满足对任意1M2N,方格表中每个MM的正方形至多与M2个已放入的骨牌有公共格.求证:小美可以再放入骨牌恰覆盖方格表中余下的方格. 8.设简单有向图G的顶点是101000(10行1000列)的格点.G的边满足:除最后一列外,每个顶点恰有三条有向边指向下一列的三个不同顶点;除第一列外,每个顶点恰有三条有向边被前一列的三个不同顶点指向;G中无其他边,对最后一列的每个顶点v赋予一个实数qv0,1.对其余每个顶点u,若从u出发的三条边指向的三个不同顶点为a,b,c,其递归地定义quqaqbqc.求证:quqv150 3uvE2 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/dca9fb7a497302768e9951e79b89680203d86b84.html