2015年数学建模作业题
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《数学建模》期末作业题 20015-6-12 数学模型课程期末大作业题 要求: 1）选题方式：共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod52所得的值+1。(例如：你的学号为119084157，则你要做的题为mod(119084157,52)+1=50)。 2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。 3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题 某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）： 表1 产 品 收 益 磨 垂直钻孔 水平钻孔 镗 刨 p1 10 0.5 0.1 0.2 0.05 0 p2 6 0.7 0.2 0 0.03 0 p3 8 0 0 0.8 0 0.01 p4 4 0 0.3 0 0.07 0 p5 11 0.3 0 0 0.1 0.05 p6 9 0.2 0.6 0 0 0 p7 3 0.5 0 0.6 0.08 0.05 各种产品各月份的市场容量如下表（表2）： 表2 产 品 一月 二月 三月 四月 五月 六月 p1 500 600 300 200 0 500 p2 1000 500 600 300 100 500 p3 300 200 0 400 500 100 p4 300 0 0 500 100 300 p5 800 400 500 200 1000 1100 p6 200 300 400 0 300 500 p7 100 150 100 100 0 60 每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为0.5元。现在无存货。要求到6月底每种产品有存货50件。 工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。 在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合 1 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？ 注意，可假设每月仅有24个工作日。 5、生产计划 某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示： 单件所需台时 ( 表1 ) 产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 设备 收益 10 6 8 4 11 9 3 磨 0.5 0.7 0 0 0.3 0.2 0.5 垂直钻孔 0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0 水平钻孔 0.2 0 0.8 0 0 0 0.6 镗孔 0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08 刨 0 0 0.01 0 0.05 0 0.05 从1月到6月份，下列设备需进行维修：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示： ( 表2 ) 产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 月份 一月 500 1000 300 300 800 200 100 二月 600 500 200 0 400 300 150 三月 300 600 0 0 500 400 100 四月 200 300 400 500 200 0 100 五月 0 100 500 100 1000 300 0 六月 500 500 100 300 1100 500 60 当月销售不了的每件每月贮存费为0.5元，但规定任何时候每种产品的贮存量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求： （a）该厂如何安排计划，使总利润最大； （b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。 34、瓶颈机器上的任务排序 在工厂车间中，经常会出现整个车间的生产能力取决于一台机器的情况（例如，仅有一台的某型号机床，生产线上速度最慢的机器等）。这台机器就称为关键机器或瓶颈机器。此时很重要的一点就是尽可能地优化此机器将要处理的任务计划。 2 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 此问题的目的是为在单台机器上的任务调度提供一个简单的模型，此模型可以结合多种不同的目标函数进行使用。在这里我们将看到如何最小化总处理时间，平均处理时间，以及总超时时间。 在一台机器上将要处理一组任务。任务的执行不具有抢先性（即一旦一个任务开始执行，就不允许被打断）。对于每个任务i ，都给出了它的发布时间和持续时间。 对于最后一个优化目标（总超时时间），也需要使用截止时间（规定的最后完成时间）来对系统的超时长度进行度量，即度量任务完成时间超出规定时间的长度。下表中列出了我们的问题要使用的各种数据。 我们希望求出下面这些目标的最优值：计划总需时（makespan）的最小值，平均处理时间的最小值，或总超时时间的最小值。 表格 7.6：任务时间窗口和持续长度 任务 1 2 3 4 5 6 7 发布时刻 2 5 4 0 0 8 9 持续时间 5 6 8 4 2 4 2 规定完成时间 10 21 15 10 5 15 22 35、油画制造 有一家油画公司有一些大型客户，它们一直有稳定的需求，此公司每周需要为这些客户制造5 批油画，每批油画都完全相同。每批油画都在同一个制造过程中完成，所有批油画都要使用同一支调和画笔，在绘制两批油画之间必须清洗此画笔。第1到5 批油画的绘制时间分别为40，35，45，32，和50 分钟。清洗时间取决于所使用的颜色和颜料类型。例如，如果在使用水性颜料使用油性颜料，或者在使用深色后使用浅色，则需要较长的清洗时间。下表中给出了清洗时间数组CLEAN ，其中CLEANij表示在第i 批油画之后绘制第j 批油画所需的清洗时间。 表格 7.7：清洗时间矩阵 1 2 3 4 5 1 0 11 7 13 11 2 5 0 13 15 15 3 13 15 0 23 11 4 9 13 5 0 3 5 3 7 7 7 0 由于此公司还有其他业务，因此希望尽量缩短完成这项每周固定的任务所需的时间（绘制时间和清洗时间）。那么应采取什么顺序绘制这些批次的油画？所指定的顺序将每周重复执行，因此总清洗时间中也应计入一周的最后一批油画与下周的第一批油画之间所需的清洗时间。 36、生产线平衡 有一家电子工厂有一条生产线生产一种放大器，此生产线由四个工作台组成。生产放大器要经过12 道工序，这些工序之间存在先决关系约束。下表列出了每道工序需要花费的时间（分钟），并列出了所有的直接先决关系（表格中PCB 是印刷电路板的简称）。 制造管理人员希望在满足先决关系的条件下将这些工序分配到四个工作台 3 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 上，以使生产线得到平衡，从而使生产周期尽可能缩短，即缩短组装一台放大器所需的总时间。每道工序都需要分配到一个工作台上，并且在进行此工序时不许打断。每个工作台在一个时刻都只能进行一道工序。由于每个工作台上的每个工序都对每个放大器重复执行一次，因此我们称一台放大器组装所需的总时间为一个生产周期。当一台放大器完成组装之后，则工作台1 到3 上的放大器都将移动到下一个工作台上，并且在第一个工作台上开始组装新一台放大器。 表格 7.8：任务列表和先决关系 任务 描述 耗时 先决任务 1 准备外壳 3 - 2 组装PCB与电源模块 6 1 3 组装PCB与预放大器 7 1 4 放大器滤波器 6 2 5 推挽电路 4 2 6 连接PCB 8 2,3 7 预放大器集成电路 9 3 8 调整连接 11 6 9 预放大器散热器 2 4,5,8 10 保护栅格 13 8,11 11 静电保护 4 7 12 装上盖子 3 9,10 37、自行车生产规划 有一家公司生产儿童自行车。在下表中给出了明年预期的销售量（以千辆为单位计）。此公司的生产能力为每个月30,000 辆自行车。通过工人加班，可以将产量提高50%，但是会将每辆自行车的生产成本从30 欧元提高到40 欧元。 表格8.1：明年的销售预期（千辆） 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 30 15 15 25 33 40 45 45 26 14 25 30 当前自行车的库存量为2,000 辆。对于库存中的每辆自行车，在每个月月底都需要支出5 欧元的存储费用。我们假定此公司的库存能力是无限的（即虽然此公司的实际库存能力是有限的，但不会给我们这个例子带来限制）。现在是一月一日，在下面的十二个月里面每个月应生产和存储多少辆自行车才能够满足此销售预期，并最小化总成本？ 38、考试日程安排 有一所工程大学每个学期三年级学生都需要根据其希望在第四年内学习的内容（可以从“生产规划”和“质量和安全管理”中选择）从11 门课程中选择8 门。在学生选择了下一个学年内的学习方向后，则在此学期内有些课程即变为必修课。这些必修课程是统计学（S），图模型与算法（GMA），生产管理（PM），离散系统与事件（DSE）。其他可选的课程为：数据分析（DA），数值分析（NA），数学规划（MP），C++，Java（J），逻辑规划（LP），以及软件工程（SE） 表格 14.9：考试科目之间的冲突情况 DA NA C++ SE PM J GMA LP MP S DSE 4 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 DA - X - - X - X - - X X NA X - - - X - X - - X X C++ - - - X X X X - X X X SE - - X - X X X - - X X PM X X X X - X X X X X X J - - X X X - X - X X X GMA X X X X X X - X X X X LP - - - - X - X - - X X MP - - X - X X X - - X X S X X X X X X X X X - X DSE X X X X X X X X X X - Edeetee 女士负责安排每学期的期末考试。每门考试都需要占用两个小时时间。安排两天用于考试，每天可用安排考试的时间段为：8:00-10:00，10:15 - 12:15， 14:00 -16:00，16:15- 18:15。在安排考试时间时需要考虑到有些学生同时选定了一些课程，因此这些课程的考试就不能安排在同时进行。表14.4.1 列出了这些有冲突的考试。 请帮助Edeetee 女士制定一份考试时间表，以使得每个学生每个时刻都只需参加一门考试。 39 玻璃杯生产规划 在法国北部有一家公司主要生产饮水用玻璃杯。当前此公司销售六种不同类型的玻璃杯（V1 到V6），这些杯子按照1000 个为一批进行生产，此公司希望为下面12个月的生产做出规划。可以生产小数数目批（不足1000 个）。下表列出了未来12 个星期预期每种类型的杯子的需求量。 表格8.3：规划期间内需求量（以1000 个杯子为一批计） 周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 V1 20 22 18 35 17 19 23 22 29 30 28 32 V2 17 19 23 20 11 10 12 34 21 23 30 12 V3 18 35 17 10 9 21 23 15 10 0 13 17 V4 31 45 24 38 41 20 19 37 28 12 30 37 V5 23 20 23 15 19 22 18 30 28 7 15 10 V6 22 18 20 19 18 35 0 28 12 30 21 23 已知每种类型杯子的初始库存量以及最终要求保留的库存量（以1000 个杯子为单位）。已知每种杯子的每一批的生产成本和库存成本（单位为欧元），以及需要的工人和机器工作时间（小时）以及需要的储存空间（单位为货箱数）。 限制工人每周的总工时不能超过390 小时，机器每周的总工时不能超过850 小时。库存空间足够保存1000 个货箱。那么在每个时期内每种类型的杯子应各生产多少个才能够使生产和库存成本最小化？ 表格 8.4：六种类型杯子的数据 V1 V2 生产成本 库存成本 初始库存 最终库存 工人工时 机器工时 储存空间 100 80 25 28 50 20 10 10 3 3 2 1 4 5 5 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 V3 V4 V5 V6 110 90 200 140 25 27 10 20 0 15 0 10 10 10 10 10 3 2 4 4 4 8 11 9 5 6 4 9 40、物料需求规划 Minorette 公司生产两种大型儿童玩具车：蓝色集装箱卡车和红色油罐卡车。每种类型的玩具车都由13 个部件组装而成。图8.1 列出了这些部件的分解结果（也称为Gozinto 图或零件爆炸），下面的表8.6 列出了各种组件的价格。 轮子 棒材 保险杠 底盘 驾驶室 车门窗 0.30欧元 1欧元 0.20欧元 0.80欧元 2.75欧元 0.10欧元 风挡 蓝色集装箱 红色油罐 蓝色发动机 红色发动机 车头灯 0.29欧元 2.60欧元 3欧元 1.65欧元 1．65欧元 0.15欧元 图8.1：组件分解（Gozinto 图） 其中轮轴，底盘，蓝色或红色驾驶室可以由此公司自己组装，也可以转包给别的公司。下表列出了自己组装和转包这些组件的成本以及此公司的产能。在组装成本中未计入购买原料的费用。 表格 8.7：转包和组装成本，组装产能 轮轴 组装好组装好蓝色卡红色油的底盘 的驾驶室 车 罐车 转包 12.75欧元 30欧元 3欧元 - - 自己组装 6.80欧元 3.55欧元 3.20欧元 2.20欧元 2.60欧元 产能 600 4000 3000 4000 5000 下个月Minorette 公司预期这两种玩具车的需求量均为3000 辆。目前库存量为0。那么Minorette 公司购买或转包这些组件的数量各为多少才能够在满足需求的同时又能够最小化生产成本？ 41、电子元件生产规划 为增加利润，一家小公司希望提高其最畅销产品的产量。这家公司的主要业务之一是生产IC 卡和电子徽章。这家公司也生产这些卡和徽章的各个元件。因此对这些元件的生产进行良好的规划就成了此工厂取得成功的决定因素。在这个 6 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 例子中对这些元件的需求都来源于此公司内部，因此很容易对其进行预测。 在未来的六个月内，计划生产四种元件，型号分别为X43-M1，X43-M2，Y54-N1， Y54-N2。这些元件的产量受到产能变化的影响，并且每次产能改变后都需要重新进行控制和调整，因此会带来不可忽略的费用。因此公司希望最小化这些改变带来的费用，以及生产和库存的成本。 在下表中列出了每种产品每个时期内的需求量，生产和库存成本，初始库存量，以及最后希望保留的库存量。当产量发生变化时，需要对机器和控制系统进行重新调整。由此带来的费用与产量较前一月的改变量（提高或上升）成正比。产量每提高一个产品单位，则需要支出1 欧元；产量每降低一个产品单位，只需要支出0.50 欧元。 表格8.10：四种产品的数据 产品需求 月 1 2 3000 800 1500 1600 3 2000 800 2900 1500 4 4000 1000 1800 1000 5 2000 1100 1200 1100 6 2500 900 2100 1200 X43-M1 1500 X43-M2 1300 Y54-N1 2200 Y54-N2 1400 成本 生产 20 25 10 15 储存 0.4 0.5 0.3 0.3 库存量 初始 10 0 0 0 最终 50 10 10 10 为最小化由于产量改变引起的费用，以及生产和库存成本，应采取何种生产方案？ 42、玻璃纤维生产规划 有一家公司生产玻璃纤维，产量以立方米为单位计算。这家公司希望对未来六个星期的生产进行规划。产能有一定上限，且在每个时期产能的上限都不同。规划所覆盖的整个期间的每周需求量都已知。不同时期的生产和存储的费用也不相同。下表中列出了这些数据。 表格 8.12：每周各项数据 星期 产能（m3） 需求（m3） 生产成本（欧储存成本（欧元/m3） 元/m3） 1 140 100 5 0.2 2 100 120 8 0.3 3 110 100 6 0.2 4 100 90 6 0.25 5 120 120 7 0.3 6 100 110 6 0.4 应采取怎样的生产方案才能够最小化生产和存储的总成本？ 43、货车载荷平衡 有三节铁路货车车厢，其最大允许载重均为100 公担（1 公担=100 千克），将使用这三节车厢运输16 个箱子。下表中列出了这些箱子的重量，单位为公担。应如何将箱子分配到各个货车上，才能使每节货车实际载重均不超过最大允许载重，且使装载量最大的车厢的装载量最小？ 表格9.1：箱子属性 7 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 箱子 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 34 6 8 17 16 5 13 21 箱子 9 10 11 12 13 14 15 16 重量 25 31 14 13 33 9 25 25 在建立数学规划模型之前，你可能希望了解是否可以使用这样的启发式方法对问题进行求解：在所有箱子都装到车上之前，我们选择最重的尚未装车的箱子，并将它放到实际载重最轻的货车上。 44、储存罐注入 5 艘油船抵达了一个化工厂。这些油船中装有液体载荷，这些液体不允许混合： 1200 吨苯，700 立方米丁醇，1000 立方米丙醇，450 立方米苯乙烯，1200 立方米四氢呋喃（THF）。在此化工厂里有九个不同大小的存储罐。有一些存储罐已经装有一些液体。下表列出了每储存罐的属性（单位为吨）。应将这些船中装载的液体分别装载到哪个储存罐中才能使未使用的储存罐容量最大（问题1），或怎样才能使保留未用的储存罐数目最多？ 表格9.6：储存罐属性 罐子编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 容量 500 400 400 600 600 900 800 800 800 当前内容 - 苯 - - - - THF - - 体积 0 100 0 0 0 0 300 0 0 45、汽车租赁 有一家小型汽车租赁公司，此公司有94 辆可供出租的汽车，分布于10 个代理点中。每个代理点的位置都将以地理坐标X 和Y 的形式给出，单位为千米。我们假定两个代理点之间的距离约为它们之间欧氏距离（即最短距离）的1.3 倍。下表给出了各个代理点的位置坐标，以及第二天早晨汽车租赁的需求量和前一天晚上各个代理点拥有的汽车数。 表格 10.1：车辆租赁代理点信息 代理点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 X坐标 0 20 18 30 35 33 5 5 11 2 Y坐标 0 20 10 12 0 25 27 10 0 15 汽车需求量 10 6 8 11 9 7 15 7 9 12 当前拥有量 8 13 4 8 12 2 14 11 15 7 假定汽车转运的成本为每辆车每千米0.50 欧元，请找出如何在各个代理点之间调度分配汽车才能够满足各处的需求，并且使转运成本最低。 46、选择运输方式 在法国西南部有一家公司，这家公司需要将180 吨存放于仓库D1 到D4 中的化学产品运输到3 个回收中心C1，C2 和C3。仓库D1 到D4 分别储存有50，40，35，和65 吨化学产品，总计为190 吨。可以选用两种运输方式：公路运输和铁路运输。仓库D1 只能通过公路向回收中心C1 和C2 进行运输，运费分别为12 欧元/吨和14欧元/吨。仓库D2 只能向回收中心C2 运输，可以选择通过铁路或公路，运费分别为12 欧元/吨和14 欧元/吨。仓库D3 可以通过公路向回收中心C2 运输（9 欧元/吨），或通过铁路或公路向回收中心C3 运输，运费 8 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 分别为4 欧元/吨和5 欧元/吨。仓库D4可以通过铁路或公路向回收中心C2 运输，运费分别为11 欧元/吨和14 欧元/吨，或者通过铁路或公路向回收中心C3 运输，运费分别为10 欧元/吨和14 欧元/吨。 此公司与铁路公司签订的化学物品运输合同规定，每次运输量至少应为10 吨，最多为50 吨。除了标准的安全规章之外，对公路运输不存在其他特殊的限制。那么此公司应如何运输这180 吨化学物品才能够使总运费最低？ 47、仓库位置选取 有一家大公司希望开设一些新的仓库，以向销售中心供货。每开设一个新仓库都有一些固定费用。货物将从仓库运输到附近的销售中心。每次运输的运费取决于运输的距离。这两种类型的费用非常不同：仓库开设费用属于投资支出，通常在若干年后将勾销，而运输费用属于运营成本。如何结合这两种费用不属于本书的讨论范围，我们假定这两种费用可比，为此可能需要以年为单位计算运营费用。 有12 个可以建造新仓库的位置，并且需要从这些仓库向12 个销售中心供货。 下表10.3 给出了每个仓库完全满足每个客户（销售中心）需求所需的总成本（千欧元，不是单位成本）。因此，例如从仓库1 向客户9（根据表10.5 可以看到此客户总需求量为30 吨）供货的单位成本为60000 欧元/30 吨，即2000 欧元/吨。如果无法进行送货，则对应的成本标记为无穷大∞ 。 表格 10.3：满足客户需求所需的运输成本 客户 仓1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 库 1 100 80 50 50 60 100 120 90 60 70 65 110 2 120 90 60 70 65 110 140 110 80 80 75 130 3 140 110 80 80 75 130 160 125 100 100 80 150 4 160 125 100 100 80 150 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 5 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 6 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 100 80 50 50 60 100 7 100 80 50 50 60 100 120 90 60 70 65 110 8 120 90 60 70 65 110 140 110 80 80 75 130 9 140 110 80 80 75 130 160 125 100 100 80 150 10 160 125 100 100 80 150 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 11 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 12 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 100 80 50 50 60 100 此外，对每个仓库，还有如下信息：仓库建设的固定费用（需要计入目标函数）和仓库的容量上限，这些信息都列于表10.4 中。 表格 10.4：仓库建设费用和容量限制 仓库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 建设3500 9000 10000 4000 3000 9000 9000 3000 4000 10000 9000 3500 费用 容量300 250 100 180 275 300 200 220 270 250 230 180 9 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 上限 表10.5 列出了各个销售中心（客户）的需求量。 表格 10.5：客户需求量数据 客户 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 需求量 120 80 75 100 110 100 90 60 30 150 95 120 任何时候都要保证满足客户需求，可以从多个仓库向同一个客户送货。应在哪些位置开办仓库才能使总的建设成本以及运输成本最低，同时仍然能够满足所有客户需求？ 48、燃油运输 有一个运输商需要将一些燃油从位于S处的炼油厂运输到他的一些客户那里。这些客户分别位于A1，A2，A3，A4，A5，和A6。下表列出了每个地方的需求量升数。 表格 10.7：客户需求量（升） A1 A2 A3 A4 A5 A6 14000 3000 6000 16000 15000 5000 下面这个表中列出了炼油厂与客户之间的距离。 表格 10.8：距离矩阵（千米） S A1 A2 A3 A4 A5 A6 S 0 148 55 32 70 140 73 A1 148 0 93 180 99 12 72 A2 55 93 0 85 20 83 28 A3 32 180 85 0 100 174 99 A4e 70 99 20 100 0 85 49 A5 140 12 83 174 85 0 73 A6 73 72 28 99 49 73 0 此运输公司使用容量为39000 升的油罐车进行运输。请选择运输路线，使向所有客户运输的总里程数最少。 49、组合使用不同运输方式 有20 吨货物需要沿着一条路径运输到五个城市，可以选择三种不同的运输方式：铁路，公路，和航空运输。在三个位于路途中间的城市里可以更改运输方式，但是在相邻的两个城市之间只能采取一种运输方式。表10.9 列出了在每一对城市之间运输1 吨货物的成本。 表格 10.9：不通运输方式的成本 城市 1-2 2-3 3-4 4-5 铁路 30 25 40 60 公路 25 40 45 50 航空 40 20 50 45 下面的表（10.10）列出了在更换运输方式时每吨货物需要的额外支出。此支出与地点无关。 表格 10.10：更换运输工具费用 从...转换为... 铁路 公路 航空 10 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 铁路 公路 航空 0 5 8 0 15 10 应选择怎样的运输方案才能使总成本最小？ 12 10 0 50、货车车队规划 有一个连锁商店从不同的汽车租赁商那里租赁货车，从而组成一支车队。此公司预测未来六个月内的货车的需求如下（表10.12）： 表格 10.12：六个月内的货车需求量 一月 二月 三月 四月 五月 六月 430 410 440 390 425 450 在一月，此连锁店有200 辆货车，这些货车的租借期将在二月底结束。 为满足需求，此连锁店可以选择三种类型的租赁合同，每个合同都将在每个月1日生效，这些合同为：三个月的租赁合同，每辆车租金总计1700 元；4 个月的租赁合同，每辆车租金总计2200 元；以及5 个月的租赁合同，每辆车租金总计2600 元。 此公司每个月应签订每种类型的合同各多少份才能够满足业务需要，并使总支出最小，且在六月结束时所有车辆租赁期都结束？ 图10.4：第5 个月（五月）内仍然在租赁期的车辆 51机组编成 在第二次世界大展中，英国皇家空军（RAS）中有很多说不同语言的飞行员，飞行员所学习驾驶的飞机也不尽相同。皇家空军希望为每架飞机安排一对飞行员-副飞行员（一个机组），他们必须语言相通，并且都熟悉此机型。在我们这个例子中有8 名飞行员。下面的表中用0（最差）到20（最好）表示每名飞行员对各种语言（英语，法语，荷兰语，挪威语）的掌握程度，以及对不同类型的双座飞机（侦察机，运输机，轰炸机，战斗轰炸机，补给运输机）的驾驶经验。 表格 11.3：飞行员各项评分 语言 飞行员 英语 法语 荷兰语 1 20 12 0 2 14 0 20 3 0 0 12 4 13 10 0 5 0 15 8 6 0 20 11 7 8 8 14 8 8 9 12 11 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 挪威语 0 0 0 0 17 0 0 16 侦察机 18 12 15 0 0 0 8 0 运输机 10 0 9 14 15 8 12 13 机型 轰炸机 0 17 0 11 13 10 0 0 战斗轰炸机 0 0 14 0 0 12 16 0 补给运输机 0 0 0 0 12 18 0 18 只有两名飞行员对同一种语言的掌握都超过10/20，且对同一种飞机的掌握都超过10/20，这样才能组成一个机组。 问题1：是否有可能让所有飞行员都编入机组？ 然后计算每个可行机组人员对其掌握得分均超过10/20 的每种类型飞机的掌握得分之和。这样我们可以定义每个机组的最高得分。例如，飞行员5 和6 对轰炸机的掌握分别为13 和10，对补给运输机的掌握分别为12 和18。因此它们组成的机组的最高得分为max(13+10, 12+18) = 30。 问题2：应如何编组才能让所有机组的得分之和最大？ 52、航班着陆调度(具有时间窗口的调度问题 ) 在大型机场中，飞机的降落要受到很多安全约束条件的限制。本节中将研究如何对单条跑道上的飞机降落进行调度。已经有人研究了更一般的问题，但这些问题相当复杂（动态案例，例如航班晚点，同时有多条跑道，等等），因此我们只讨论一个简单的情形。 有十个航班需要降落。每个航班都有一个最早到达时间（飞机以最高速度到达降落区域的时间）和最晚到达时间（可能受其他因素如燃油量等的影响）。在这个时间窗口内，航空公司需要选择一个目标时间，并将它作为航班到达时间公布出去。如果比此目标时间迟到或早到，则可能会引起机场秩序混乱并带来额外的费用支出。为将这些费用计入考虑，并方便进行比对，每个航班都定义了早到每分钟的惩罚和晚到每分钟的惩罚。下表列出了每个航班的时间窗口（以从当天零时起分钟数计）和惩罚值。 表格 11.4：航班时间窗口等信息 飞机 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最早到达 129 195 89 96 110 120 124 126 135 160 目标时间 155 258 98 106 123 135 138 140 150 180 最晚到达 559 744 510 521 555 576 577 573 591 657 早到惩罚 10 10 30 30 30 30 30 30 30 30 晚到惩罚 10 10 30 30 30 30 30 30 30 30 由于尾流影响以及飞机停留在跑道上的时间影响，在两次降落之间需要间隔一段安全时间。在表11.5 中第p 行第q 列即表示在航班p 和q 降落之间需要等待的最短时间（分钟），即便这两个航班实际上不是连续降落的。应采取何种降落调度方案才能够在使总惩罚最小，同时航班又都在指定的时间窗口中降落，并且满足两个航班降落之间的时间间隔？ 表格 11.5：相邻降落之间的间隔时间矩阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 - 3 15 15 15 15 15 15 15 15 2 3 - 15 15 15 15 15 15 15 15 3 15 15 - 8 8 8 8 8 8 8 12 《数学建模》期末作业题 20015-6-12 4 5 6 7 8 9 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 8 8 8 8 8 8 8 - 8 8 8 8 8 8 8 - 8 8 8 8 8 8 8 - 8 8 8 8 8 8 8 - 8 8 8 8 8 8 8 - 8 8 8 8 8 8 8 - 8 8 8 8 8 8 8 - 13 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ab667927b91aa8114431b90d6c85ec3a87c28b8e.html