运用化归法巧解中学数学题
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运用化归法巧解中学数学题 摘要： 化归法在数学中是一个非常基本的思想方法，有着十分广泛的应用，熟练掌握并运用化归法，对于沟通代数、三角、几何的内在联系，具有重要指导意义。而顺利实现化归的关键，则是掌握一些常用的化归法技巧。 关键词：化归；转化；数学模型 把待解决的问题，通过某种手续转化为能解决或者比较容易解决的问题，这就是数学中常用的最基本的思维方法——化归法。熟练掌握并运用化归法，对于学好数学具有重要意义。笔者结合多年从教经验，介绍几个中学中常用的化归法的技巧： 一、巧用等价法 利用命题的等价关系将原问题转化为易于处理和解决的新问题的方法称为等价法。 分析与解法：求M的最值，是二元函数的极值问题，考虑用恒等变换法化归为一元二次函数的极值问题。 由 x2+y2+x=2得-y2 =x2+x-2=（x-1）（x+2）≤0， ∴-2≤x≤1，于是M=(_x2_x+2)+7x-6=5-(x-3)2, ∴当x=1时，M有最大值1；当x=-2时，M有最小值-20。 二、巧用映射法 如果数学问题在原集合A中直接解决比较困难，可建立某种法则把它映射到另一个集合B中去，得到对应的数学问题，在B集上解出映射的问题后，再把解决的结果逆映射到原集中来，从而使原问题得到解决，这种映射转移的转化方法称为映射法。解析法、换元法是映射法的具体运用形式。 例3：解方程2x3+(a+2)x2+3ax+a2=0(a∈R)。 分析：这是以x为未知数的一元三次方程。由于次数较高，求解比较困难，应用化归原则，将原问题转化为关于a的一元二次方程①，解①可得实数a的两个根由具体的x表达的式子，再将它们还原为x的方程，此时已达到了化x的高次为低次的目的。分别解之，可得原问题的解。 解：原方程可化为a的方程：a2+(3x+x2)a+(2x2+2x3)=0 ……① 即(a+2x)(a+x+x2)=0； ∴ a+2x=0 ……② 或 a+x+x2=0 ……③ 解②可得: ……④ 解③，由Δ=1-4a可得： 当时，Δ< 0，方程③无解；……⑤ 当时，Δ=0，方程③有两个相等实根为x1、2= ……⑥ 平述：例3说明应用化归原则，可将x的高次方程通过较低次的参量a，转化还原为x的低次方程再解之。此例可推广到不含参量a的关于x的高次方程，即把具体的高次方程中某个常数视为参数a，再用上面的解法来求解。 例4：设P是边长为1的正方形ABCD所在平面内任一点，求f（p）=PA+PB+PC+PD的最小值。 分析与解法：这是较为复杂的几何问题，考虑用解析法化归为代数代数问题。 建立如图（1）所示的坐标系，则有B(1,0),C(1,1),D(0,1),又设P(x,y), 三、巧用参数法 参数法既是揭示变化过程中变量之间的内在联系的媒介，又是刻画变化过程的数学工具。利用参数这一本质属性实现数学问题的转化方法称为参数法 一个含有未知数x的代数式，最后将再代回原所设式，就能迅速地求出未知数的值。 四、巧用构造法 有些命题直接解决遇到困难，通过分析构造一个与原命题相关的新命题，通过对新命题的研究达到解决原命题的目的，这种转化方法称为构造法。它是数学中最富有活力的数学转化方法之一，通常表现形式是构造函数、构造图形等。 例7：设|x|< 1，|y|< 1，|z|< 1,求证：xy+yz+zx+1>0。 解析：变量x、y、z的地位相同，于是转化为运用函数思想处理。构造函数f(x)=(y+z)x+yz+1,转化为证明f(x)>0恒成立。 当y+z=0时，f(x)=yz+1=-y2+1>0； 当y+z>0时，f(x)在(-1,1)上是增函数，则f(-1)； 当y+z<0时，f(x)在(-1,1)上是减函数，则f(-1)>f(x)>f(1)。
从f(1)=(y+1)(z+1)>0及f(-1)=(y-1)(z-1)>0知:f(x)恒成立，即xy+yz+zx+1>0。
以上例题中，各题形式各不相同，求解的具体过程也各相异，但其思考方式却有一个共同的特点，即都是通过转化，或再转化，将待解决的问题化归为一个已经能够解决的问题。或者化归为一个较易解决的问题，甚至为人所熟知的常识问题。从而把复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到化难为易的目的。
利用化归解决数学问题的过程，可以用图标为如下基本模式：
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