算二项式展开式中常数项的简便方法

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一个计算二项式展开式中常数项的简便方法重庆市万盛区田家炳中学程林书

在计算二项式展开式中的常数项时,常利用通项公式

r

nr

r

Tr1Cnab

,将含字母的项合并后,利用未知数的指数为0,求出r,

再代入通项公式计算出常数项.

例如:求(

x2

18

) 展开式中的常数项. 3x

r

4r

x8r1rr8r8

常规解法是:由通项公式得: Tr1C8()(3)=2C8x3

2x

令8

4r668

0 得 r6 故常数项为T72C87 3

pq

ml

n

上述解法的关键是求r.事实上,对任意的二项式(axbx)

,

其中,a,bR,ab0, p与q互质,m与l互质,如果存在常数项,设其为第

r1项,则

T

r1

Cna

rnr

x

p(nr)q

bx

r

mrl

=a

nr

bCx

n

rr

p(nr)mr

ql

设

p(nr)mrpnln

0 则 r qlplmq1mq

pl

而

mq

恰好是二项式两项中未知数x的指数比.因此r可由指数比来确pl

定:中x的指数是1,而3x中x的指数是,它们的比值是3:1,由于其和是8,故二项式两项的指数比是6:2,从而r6,故常数项为

x213

T72

68

C

68

7

例2 判断下列二项式展开式中是否有常数项.若有求出常数项. (1)(x3)

1x

16

(2)(2007天津高考文12) (x

1

x

)2

9

分析(1)中指数比为:3:2 不存在两个整数,比值为3:2,其和为16,从而不存在常数项. (2)中指数比为1:2其和为9, 从而指数比为3:6,

r3

1123

T4C984

3

3

例3 (2007安徽高考理12)若(2x则最小正整数n等于_______.

1)x

n

的展开式中有常数项.

分析:指数比为3:6:112:218:3......则n的可能值为7,14,21 ……最小为7.

12

例4 (2007全国卷I理10) x的展开式中常数项为15,x

2

1

2

则n( )

A:3 B:4 C:5 D:6 分析:指数比为2:14:26:3......其和为n ,则n 的可能值为

2

3,6,9……从选择支来看,n3时,常数项为C315 ,故n6选D .

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c75aee0a5527a5e9856a561252d380eb6294231d.html

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