2013数学建模国赛A题
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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 本文以建立评价交通事故中车道占用对道路通行能力的影响的模型为目标,讨论了四个相关问题，分别是事故发生前后事故所处横断面实际通行能力的变化过程、交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异、车辆排队长度与其相关因子之间的关系及在事故持续不撤离的情况下车辆排队长度与时间的关系，并建立了相关的数学模型，借助于MATLAB、SPSS及Visio软件解决上述问题。 问题一 本问以小汽车为标准车型，对其他车型进行基于公路服务水平的当量换算，并构建道路通行能力模型，将速度作为影响因子，对模型进行优化，最终确定事故横断面道路通行能力模型：，得出事故发生至撤离期间横断面实际通行能力随时间的变化满足正态分布。 问题二 采用问题一建立的模型分别计算出了视频一、二中事故发生前后该横断面道路的平均实际通行能力，并将二者的结果进行对比，分析得出：道路实际通行能力的大小与被占车道无直接联系，道路通行能力只与被占车道的行驶车辆在下一交叉口处的分流比例有关。 问题三 针对此问，本文建立了两个模型，一个是基于SINGAL94的优化模型，另一个是基于二流理论的当量排队长度模型。 在模型一中，利用SPSS分析出上游车流量与事故持续时间成泊松分布关系，利用MATLAB分析出道路通行能力与上游车流量成正态分布关系。 模型二在EXCEL进行线性回归得出上游车流累积量、事故横断面车流累积量、平均阻塞密度与事故持续时间均呈线性关系，在此基础上结合流量守恒和二流理论构造出了当量排队长度模型： 问题四 由于问题三中模型二要优于模型一，选用模型二进行计算，通过题目所给数据，对模型二中的个别因子进行修正，得出针对问题四的队列长度函数关系式，计算得出了事故发生后车辆排队长度到达上游路口的时间为14分钟。 关键词：当量换算系数 通行能力 SINGAL94 二流理论 流量守恒 1 一． 问题重述 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题： 1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 2. 根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4. 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 二． 问题一 2.1问题分析 道路通行能力是指道路上某一点某一车道或某一断面处，单位时间内可能通过的最大交通实体（车辆或行人）数。根据视频一统计出事故前后断面处单位时间内通过的面包车、大型客车、小汽车的数量，为了方便道路通行能力的计算，我们将三类车型归一到一个比较量中，把小汽车作为标准车型，根据道路的服务水平对其他两种车型进行当量换算。 建立基于服务能力的当量换算系数的道路通行能力模型，分析结果后发现模型存在一定的误差，考虑到速度的影响，对模型进行修正后分析事故发生后道路实际通行能力的变化情况。 2.2问题假设 (1)假设不考虑四轮以下的交通工具的流量。 (2)假设小汽车车长为4.5米，大型客车车长8米，小面包车车长为4米。 (3)假设一定时间段内车辆匀速行驶。 (4)假设不考虑视频跳断处。 2.3符号说明 ：事故横断面处实际通行能力 (=1,2,) : n时刻通过横断面处i型车辆数目 (=1,2,3,n=1,2,2 ) : 各类型车辆的当量系数 (=1,2,3) ：各类型车辆的速度 (=1,2,3) 2.4模型的建立与求解 考虑不同类型的车辆的当量，建立基于服务能力的当量换算系数的道路通行能力模型： 其中表示事故横断面处实际通行能力,表示n时刻通过横断面处小汽车数目,表示n时刻通过横断面处大型客车数目,表示n时刻通过横断面处面包车数目；,,分别表示小汽车、大型客车、面包车的当量系数。 根据视频一，统计出事故发生前，事故发生后以及事故解决后每分钟内事故发生处横断面通过的各类型的车辆数（见附录一）。由于车辆运行状态不同时，其相应的当量换算系数是不同的，因此在确定其当量换算系数时，首先要对其运行状态进行确定。一般来说，车辆的运行状态与公路的服务水平即公路质量、车间距等因素有关。所以为得出相应的当量换算系数，就必须建立与之相适应的公路服务水平，参考文献【1】，从中摘录出我国公路水平分级指标，见下表： 表1 公路服务水平分级指标 服务水平 速度自由度 汽车数量百分率 平均运行速度（km/h） A B C D E 由表可知，服务水平的高低可以体现在车辆的速度上。为确定服务水平，首先求出各类型车辆的水平。 小汽车通过横截面处速度3 其中为小汽车车长4.5米，为小汽车车头通过横截面到车尾通过横截面的时间。 同理，大型客车通过横截面处速度面包车通过横截面处速度 通过视频一统计出每种类型车辆各五辆从车头到车尾完全通过该横截面处的时间，根据公式(2)、（3）、（4）计算出各个时间段通过该横截面处的速度，结果见下表： 车辆类型 小汽车（m/s） 大型客车（m/s） 面包车（m/s） 小汽车（m/s） 大型客车（m/s） 面包车（m/s） 小汽车（m/s） 面包车（m/s） 表2 三种类型的车辆不同时段的速度 车辆1 车辆2 车辆3 车辆4 车辆5 平均速度(km/h) 事故发生前 16 9.23 18.46 2.25 2 2 10 8 12 9.28 13.33 2.25 2 2 9.6 9.6 -- 8 8.89 -- 2.25 1.6 2 事故解决后 10.9 8.89 -- 12 9.23 -- 11.43 -- -- 38.8 34.3 28.8 大型客车（m/s） 10.43 16 8.57 -- 4.5 2.67 1.33 17.14 7.27 -- 4.5 4 1.33 49.7 30.4 57.2 11.34 8.83 6.24 事故发生后 注：--表示该时间段内通横断面处车辆过少，无法统计数据 由于标准车型为小汽车，因此道路分级以小汽车的速度为标准。根据计算得出的小汽车速度，对照表2，可以得出事故发生前道路服务水平为C,事故发生后道路服务水平为E,事故解决后道路的服务水平仍为E。明显地，事故的发生使道路的服务水平降低，并且事故处理后，事故对其的影响还会在短时间内持续。 参考文献【1】，从中摘录出不同道路服务水平下各类型车辆对应的当量系数，制成下表： 车型 c值 1 表3不同车辆当量换算系数表 小汽车 大型客车 1 1 5.5 3.3 2.0 面包车 3.7 2.2 1.0 服务水平 A级 B、C级 D、E级 A级 B、C级 D、E级 A级 B、C级 D、E级 根据计算出的道路服务水平，对应表3，得出该横断面各时间段不同车辆的当量系数，结果见下表： 表4 事故发生后不同车辆的当量系数值 事故发生后 小汽车1 大型客车 2.0 面包车1.0 将表2与表4以及附录一的数据代入模型(1)可得到事故发生后14个周期内横断面4 处实际通行能力如下表： n取值 道路通行能力(辆) n取值 道路通行能力(辆) 与n在SPSS中进行单样本的K-S检验，结果如下： 表6 与n的K-S检验结果 单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验 1 表5 事故发生后14个周期内2 3 4 166.14 10 201.46 177.56 11 177.64 值 5 167.36 12 201.38 6 211.58 13 195.06 7 200.16 14 191.18 215.24 190.04 8 9 217.82 173.52 将上表中通行能力 正态参数a,,b N 均值 标准差 通行能力Qn 14 191.87 17.276 .152 .152 -.113 .569 .903 最极端差别 绝对值 正 负 Kolmogorov-Smirnov Z 渐近显著性(双侧) a. 检验分布为正态分布。 b. 根据数据计算得到。 分析结果可知，横断面处实际通行能力随时间的变化满足正态分布。 2.5模型的评价 优点： 1.模型考虑了速度因子、公路服务水平及当量换算系数，较好地描述了道路的实际通行能力。 2.运用SPSS对与n的关系进行定性的分析，简明地描述了事故横断面实际通行能力的变化过程。 缺点： 1.采用目测的方法统计数据，具有较大的随机误差。 三．问题二 3.1问题分析 问题二要求分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。由问题一的分析与求解结果可知，问题一中所建立的模型可以较好地评价事故路段通行能力的变化，因此，本问采用问题一中的模型对视频二进行相同的求解与结果分析，并与问题一的结果进行对比，找出横断面实际通行能力变化的差异，并分析5 原因。 3.2模型假设 (1)假设不考虑四轮以下的交通工具的流量。 (2)假设小汽车车长为4.5米，大型客车车长8米，小面包车车长为4米。 (3)假设一定时间段内车辆匀速行驶。 (4)假设不考虑视频跳断处。 3.3问题的求解 分析视频二，统计出事故发生前，事故发生后以及事故解决后每分钟内通过事故发生处横断面的各类型的车辆数（见附录二）。根据问题一所建立的模型，按照问题一的方法，计算出求解所需数据，制成下表： 表7 c-n-v数据表 小汽车 大型客车 面包车 1 36 16 1 12.46 15.45 1 2 39.3 1 2 10.29 2 2 1 37.6 3 1 14.4 2.07 1 35.3 36 36.2 28 4 4 将上表所示数据代入模型（5），得出以下结果： 事故发生前道路的车辆通行能力 事故发生后道路的车辆通行能力 事故解决后道路的车辆通行能力 同理可得视频一中： 事故发生前道路的车辆通行能力 事故发生后道路的车辆通行能力 事故解决后道路的车辆通行能力 为了更好地比较同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，将问题一与问题二的结果绘成图表，如下： 图1 视频一与视频二道路车辆通行能力柱状图 6 由图表可知： 在事故发生后，视频一与视频二的道路通行能力均降低，但视频二的通行能力大于视频一的通行能力。根据题目所给附件三，在事故发生路段的下游交叉路口处，右转流量比例为21%，直行流量比例为44%,左转流量比例为35%。在两段视频中，事故车辆均完全占用两个车道，且视频一中能通行的车道为右转车道，视频二中能通行的车道为左转车道。在视频一中，行驶在左转车道和直行车道的车辆通过事故横断面后，需进行换道，需要换道的车辆比例为79%；同理，在视频二中，行驶在右转车道和直行车道的车辆也需进行换道，且需要换道的车辆比例为65%。 由参考文献【3】可知，车道变换行为的执行需要一定的道路空间，其对道路空间利用率的占用将降低道路通行能力，所以视频一的通行能力小于视频二的通行能力是因为视频一中需要进行道路变换的车辆数目多于视频二中的。 因此，道路实际通行能力的大小与被占车道无直接联系，道路通行能力只与被占车道的行驶车辆在下一交叉口处的分流比例有关。 四．问题三 4.1问题分析 该问要求构建数学模型分析视频一中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。首先，经查阅资料，本问构建了基于SINGAL94车辆排队长度优化模型，并找出事故横断面处实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量这三者之间的关系，将其作为函数因子，代入车辆排队长度模型中，并进行模型的验证。其次，基于二流理论构建了车辆排队长度模型，并依次找出事故横断面处实际通行能力、路段上游车流量与事故持续时间的关系，将其带入车辆排队长度模型二中，并进行验证。 4.2模型假设 （1）假设每个周期内两个小区路口的出车数量为定值。 (2)假设事故前各车辆间距离都一样。 (3)假设不考虑视频中断处的情况。 4.3符号说明 (min)： 绿灯时长 (辆km/h)： 饱和流率 (min)： 红灯时长 (辆)： 第n周期的车辆到达流率（n=1,2,……,14） ： 到达分布系数 (辆)： 第n周期滞留的排队车辆数（n=1,2,……,14） (辆): 第n周期的最大排队车辆数（n=1,2,……,14） (min): 信号周期 ： 调整因子 7 (辆): 上游车流量（n=1,2,……,14） (min): 事故持续时间 (辆km/h)： 第n周期道路实际通行能力（n=1,2,……,14） （m） 车辆排队长度 4.4模型的建立与求解 4.4.1基于SINGAL94的优化模型 车辆排队长度是由诸多因素决定的，主要包括来车强度、红灯时间及到达分布系数，SINGAL94模型考虑以上因素，并考虑到饱和周期和非饱和周期，计算排队车辆数： 其中为第n周期最大排队车辆数，为第n周期的车辆到达流率，为红灯时间，为车辆平均到达率。 但考虑到当交通需求大于通行能力时，绿灯结束时仍有一定的滞留车辆在排队，在SINGAL94模型的基础上，对其进行修正，建立基于SINGAL94的优化模型： 可以表示为： 其中为到达分布系数，为第n周期滞留的排队车辆数，为绿灯时长，为饱和流率，为信号周期，为调整因子。 由模型（7）可知排队车辆数与车辆到达率有一定的关系，而车辆到达率与道路实际通行能力和车辆平均速度有如下关系： 因此为求出排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，只需找出事故持续时间和上游车流量与道路实际通行能力之间的关系。假设事故发生后三者存在以下函数关系： 根据视频一，由于问题一中统计的单位时间内通过横断面处的车辆数目包含了小区路口的车辆出入数目以及上游出车数，因此，上游出车数需要重新统计。以一分钟为周期，统计出事故发生后14个周期内的上游出车数，根据公式： 求出上游各周期内的车流量，具体结果见下表： 表8 事故发生后14个周期内的上游车流量 小汽车流大型客车流面包车流上游总车流8 量/辆 第1个周期 第2个周期 第3个周期 第4个周期 第5个周期 第6个周期 第7个周期 第8个周期 第9个周期 第10个周期 第11个周期 第12个周期 第13个周期 第14个周期 4 14 16 10 11 17 17 16 11 14 11 12 17 10 量/辆 8 2 0 2 2 2 0 2 0 4 4 2 0 2 量/辆 5 4 2 2 4 1 3 3 5 3 1 3 3 6 量/辆 17 20 18 14 17 20 20 21 16 21 16 17 20 18 为分析出上游车流量与道路实际通行能力的关系，根据问题一统计出的数据表2、表4和附录一，采用问题一的模型，道路通行能力： 计算出14个周期内道路通行能力，见下表： 表9 事故发生后14个周期道路通行能力 小汽车Q值大型客车Q值面包车Q值道路通行能力/(辆/(辆km/h) /(辆km/h) /(辆km/h) km/h) 113.4 147.42 147.42 147.42 124.74 181.44 181.44 181.44 136.08 147.42 136.08 158.76 170.1 136.08 70.64 17.66 0 17.66 17.66 17.66 0 17.66 0 35.32 35.32 17.66 0 17.66 31.2 24.96 18.72 12.48 24.96 12.48 18.72 18.72 37.44 18.72 6.24 24.96 24.96 37.44 215.24 190.04 166.14 177.56 167.36 211.58 200.16 217.82 173.52 201.46 177.64 201.38 195.06 191.18 第1个周期 第2个周期 第3个周期 第4个周期 第5个周期 第6个周期 第7个周期 第8个周期 第9个周期 第10个周期 第11个周期 第12个周期 第13个周期 第14个周期 利用MATLAB软件对上面表中的道路通行能力与上游车流量析（程序见附录三）。运用结果见附录三，分析结果可得： 进行数据拟合分下面分析事故持续时间与上游车流量的关系，的取值为1,2,3…,14，将的值与上游车流量数值导入SPSS进行单样本K-S检验，结果见下图： 9 表10 单样本K-S检验结果 单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验 Poisson 参数最极端差别 a,,b N 均值 绝对值 正 负 上游流量 14 18.21 .216 .216 -.199 .807 .532 Kolmogorov-Smirnov Z 渐近显著性(双侧) a. 检验分布为 Poisson 分布。 b. 根据数据计算得到。 分析结果可知上游车流量与事故持续时间成泊松分布关系。综合上面分析，用Visio软件绘出以下交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系链： 图2 变量间关系链图 4.4.2基于二流理论的当量排队长度模型 二流理论将道路上的车辆分为两类：运动中的车辆和停止车辆，根据这种分类思想，可以将交通流分为两类：运动车辆的行驶交通流和车辆停止不动的阻塞交通流，而在发生事故时道路上的交通流就是这两种交通流的叠加。 在单出口单入口的不可超车的多车道路段，根据流量守恒原理有： 其中为初始时刻(t=0)上游断面到事故横断面间的车辆数；r为车道数；为上游断面的车辆累计数；为事故横断面的车辆累计数；为t时刻上游断面到事故横断面间的车辆数；是修正系数，即小区路口车辆的改变辆，为常量。 根据二流理论分析可知，可以表示为： 10 其中为平均阻塞密度；为平均最佳密度；为t时刻上、下游断面间的当量排队平均车辆数；为上游断面到事故发生横断面间的距离。 联立，解得： 在式(15)中，令,则此刻平均当量排队车辆数： 同理，当时，平均当量排队车辆数为： 在时刻，平均排队车辆数的增量为： 时间内上游与事故发生横断面车辆累积数的增量分别为： 式中，分别为第条车道时间内通过上游断面、事故发生横断面的车辆数。 将式(14)代入式(13)中得： 当时，对点的排队长度增量与时间增量之比取极限，得该点排队长度变化率，即： 式中为时刻的平均当量排队长度变化率，间内通过上游断面、事故发生横断面的流量。 在任意时刻的平均当量排队长度变化率： 11 分别为第条车道时 当交通流拥挤时，各条车道的交通状态基本类似，其各断面流量基本相等，可以用平均值来代替各条车道的断面流量，则(21)式可以简化为： 上式中对应模型一检验表中的车辆到达流率，如下： 表11 23 21 18 19 20 16 17 17 20 17 19 取值表 20 20 19 用EXCEL进行与的回归分析，结果见下图： 图3 与的回归分析结果 分析上图可知二者线性拟合程度很高，因此，二者的关系可表示为： 同理，，对应表8中上游车流量 取值 上游断面流量/辆 取值 上游断面流量/辆 17 21 16 20 21 18 16 ，如下： 表12 14 17 17 20 20 18 20 用EXCEL进行 与的回归分析，结果见下图： 12 图4 与的回归分析结果 由图可知线性拟合度接近1，因此 下面分析平均阻塞密度与之间的关系可用以下式子表示： 和事故处理时间的关系。根据公式： 其中车间距d取1米，取表2中的数据，对 表13 4 13.6 11 37.6 进行计算，结果见下表： (辆 (辆) ) 1 4.2 8 27.6 2 7.6 9 30.9 3 10.5 10 34.5 5 16.7 12 41.3 6 20.4 13 44.7 7 23.8 14 48.4 将数据导入EXCEL进行与的回归分析，结果见下图： 图5 与的回归分析结果 同理， 取 与的关系式可表示为： 中的，即48.4辆/13 。联立式(22)(23)(24)(25)(26)可解得： 对上式积分得： 通过视频一可得到为18。 4.5模型验证 4.5.1模型一的验证 为确保模型的符合题目所给的实际情况，下面对根据实际情况对模型进行验证。首先对事故发生前即非饱和周期下的模型进行验证。 根据视频一，统计事故发生前单位时间内红灯时排队等候的车辆数n，即排队长度，取三个样本，并进行标准当量换算，结果见下表： 表14 事故发生前单位时间内红灯时排队等候的车辆数 小汽车/ 大型客车 面包车 样本一n值 样本二n值 样本三n值 c 8 2 10 1 1 1 3 3.3 0 0 1 2.2 为方便与实际值比较，将队列长度单位从辆转化为米，即 结合公式(6)计算理论上的队列车辆数，其中R为红灯时间，取0.5min，为小汽车车长，取4.5米，为车间距，取5米,将表14中n值取平均后代入公式(6)，得出理论值，将表14中n值取平均后直接与相乘,d取1米，得出实际值，比较两值，分析出模型的相对误差，结果如下表所示： 表15 非饱和周期下模型误差分析表 M理论值 M实际值 相对误差 168.34 154.19 9.17% 同理，对事故发生后即过饱和周期下的模型进行验证。根据公式(6),结合表8，计算出14个周期的滞留的排队车辆数，结果见下表： 表16 14个周期内 215.24 23 12.65 19 21.3 190.04 16 26.95 166.14 17 33.6 177.56 17 40.25 167.36 20 49.9 211.58 19 58.55 200.16 21 69.2 、 217.82 18 76.85 、 173.52 20 86.5 93.15 201.46 17 102.8 取值表 177.64 20 111.45 201.38 19 121.1 195.06 20 191.18 根据公式(6)、公式(7)与公式(8),此时车间距14 取1米，取4.5米，根据SINGAl94 的理论取0.6，结合表16，计算14个周期M的理论值，对其取平均，作为M的实际理论值。根据视频，堵车长度为120米，而堵车时三条车道上都有车辆排队等待通过，因此，实际的队列长度应为360米。比较两值，分析出模型的相对误差，结果如下表所示： 表17 饱和周期下模型误差分析表 M理论值 M实际值 相对误差 385.6 360 7.1% 综合以上分析可知，在两种状况下，模型的相对误差都小于10%，误差属于可接受范围，因此认为基于SINGAL94的优化模型能适用于事故道路车辆排队队列长度的计算。 4.5.2模型二的验证 为计算出实际的排队长度，根据视频一统计出视频中出现120米长度的5处的各类型车辆数，换算成当量，并计算出排队时每辆所占的道路空间，即结果如下表： 样本一 样本二 样本三 样本四 样本五 小汽车数目/辆 8 11 18 21 18 表18排队距离为120米时的当量统计 面包车数目/大型客车数当量换算后车排队时每辆车所辆 目/辆 辆数目cn/辆 占有空间(m/辆) 0 3 14 8.57 0 1 13 9.23 3 0 21 5.71 2 1 25 4.80 1 2 23 5.22 然后计算道路的实际排队长度，实际排队长度等于上表排队时每辆车所占空间的平均值与事故发生横断面的流量的乘积，计算结果见下表： 事故处理时间/min 实际M值/m 事故处理时间/min 实际M值/m 表19 道路的实际排队长度 1 2 3 4 154.1 127.3 107.2 8 9 10 134 140.7 120.6 11 113.9 5 12 134 6 134 13 127.3 7 127.3 14 134 113.9 113.9 根据式（28）求出道路理论排列车辆数M,计算结果见下表： 事故处理时间/min 道路理论排列1 ，然后利用式(29)求出道路理论排队长度 5 表20道路理论排列车辆数2 3 4 6 11.51 109.3 13 7 11.75 111.6 14 10.78 10.89 11.00 11.14 11.31 105.8 107.4 11 12 车辆数/辆 理论M值/m 102.4 103.3 104.5 事故处理时间/min 道路理论排列车辆数 8 9 10 12.05 12.42 12.91 15 13.56 14.51 16.18 22．68 /辆 理论M值/m 114.5 118.0 122.6 128.8 137.9 153.7 215.4 对表19与表20中M值分别取平均，并对平均值做误差分析，结果见下表： M理论值 127.3 表21 模型误差分析表 M实际值 123.9 相对误差 2.00% 4.6模型的比较与评价 两模型假设合理，模型一将交通流量分为了饱和周期和非饱和周期，并且考虑了相位对车流的影响，使模型更符合实际道路情况，在求解过程中，对变量两两进行分析，函数关系更加明确。模型二基于二流理论将道路中出现车流分为两类，采取了平均最佳阻塞密度与平均最佳通行密度，并简化模型用车道的断面流量的平均值来代替各条车道的断面流量，是模型的实用性更强。 根据模型的检验可知，模型一的误差大于5%,而模型二的误差仅为2%，且模型一在实际的M值计算中直接采取视频中的排队长度120乘以车道数，模型过于理想化，但模型二在计算实际M值的过程中，综合考虑每辆车所占道路空间以及取了五个样本点，减小了数据的随机误差，使得结果更准确，因此，模型二优于模型一。 五．问题四 5.1问题分析 问题四要求估算事故发生后多长时间车辆排队长度到达上游路口，可运用问题三的模型进行求解，由于问题三中模型二优于模型一，因此我们选用模型二进行求解。将问题所给数据代入模型，在MATLAB中进行求解。 5.2问题求解 根据式(22)排队车流变化率： 根据式(29)排队长度： 现在所要求的时就是排队长度M为140米时的据题意可知： 上游流量 车距，其余量取值与问题三中模型二的取值相同。 对式进行积分可得： 16 由于及排队长度的改变，相应地调整为29，在MATLAB用超越方程求根程序进行求解（程序及运行结果见附录四），运行得出，因此，经过约14分钟后，车辆排队长度将到达上游路口。 六．模型的推广与应用 在道路的修建过程中道路通行能力往往是一个很重要的设计因素，利用问题一建立的基于公路服务能力的道路通行能力模型不仅能够计算实际道路的道路通行能力，还能在道路的设计规划中对设计道路的通行能力进行预测，使修建出来的道路满足人们正常出行的需求。问题三所建立的道路车辆的排队模型涉及了排队长度的主要影响因素，为保证车辆的正常行驶，模型在红绿灯周期的设置上有重要的指导意义。 七.参考文献 [1] 刘俊信，《关于车辆当量系数的评价与研究》，长安大学，硕士学位论文，20030401 [2] 张亚平，汪建鸽，《基于流量-车道占有率模型的高速公路路段通行能力分析》，中南公路工程，第25卷第1期，2000年3月 [3] 徐慧智，程国柱，裴玉龙，《车道变换行为对道路通行能力影响的研究》，中国科技论文在线，第5卷第10期，2010年10月 [4] 荣建，何民，陈春妹，《信号交叉口排队长度动态计算方法研究》，中国公路学报，第15卷第3期：101-107,2002年7月 [5] 姚荣涵，王殿海，《拥挤交通流当量排队长度变化率模型》，交通运输工程学报，第9卷第2期，2009年4月 [6] 卓金武等编著，《MATLAB在数学建模中的应用》，北京，北京航空航天大学出版社，2011 17 附录一 视频一的数据统计 小汽车 大型客车 面包车 事故发生前每分钟通过车辆数统计表 第3分钟内 第2分钟内 11 0 3 15 1 1 第1分钟内 9 3 0 第1分钟 第2分钟 第3分钟 第4分钟 第5分钟 第6分钟 第7分钟 第8分钟 第9分钟 第10分钟 第11分钟 第12分钟 第13分钟 第14分钟 事故发生后每分钟通过车辆数统计表 小汽车 大型客车 面包车 10 4 5 13 1 4 13 0 3 13 1 2 11 1 4 16 1 2 16 0 3 16 1 3 12 0 6 13 2 3 12 2 1 14 1 4 15 0 4 12 1 6 事故解决后每分钟通过车辆数统计表 第1分钟 第2分钟 32 4 2 9 1 1 小汽车 大型客车 面包车 18 附录二 视频二的数据统计 事故发生前每分钟通过车辆数统计表 小汽车 大型客车 面包车 第2分钟内 13 1 5 第1分钟内 19 1 1 第1分钟 第2分钟 第3分钟 第4分钟 第5分钟 第6分钟 第7分钟 第8分钟 第9分钟 第10分钟 第11分钟 第12分钟 第13分钟 第14分钟 第15分钟 第16分钟 第17分钟 第18分钟 第19分钟 第20分钟 第21分钟 第22分钟 第23分钟 第24分钟 第25分钟 第26分钟 第27分钟 第28分钟 第29分钟 事故发生后每分钟通过车辆数统计表 小汽车 大型客车 16 2 16 2 18 2 17 4 12 1 15 4 18 2 19 1 10 2 13 2 18 1 11 2 11 5 17 0 21 1 16 0 17 2 15 1 17 2 18 1 14 3 15 3 15 2 9 4 14 3 14 2 16 2 19 2 17 0 事故解决后每分钟通过车辆数统计表 第1分钟 19 面包车 3 3 0 0 3 1 3 2 5 3 3 3 1 3 1 1 5 0 4 0 3 3 2 1 1 2 2 1 1 小汽车 大型客车 面包车 28 4 4 附录三 道路通行能力syms t 与上游车流量数据拟合程序 x=[17;20;18;14;17;20;20;21;16;21;16;17;20;18]; y=[215.24;190.04;166.14;177.56;167.36;211.58;200.16;217.82;173.52;201.46;177.64;201.38;195.06;191.18]; f=fittype('a*exp(w*t)','independent','t','coefficients',{'a','w'}; cfun=fit(x,y,f) % 显示拟合函数 xi=10:.1:25; yi=cfun(xi); plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-'); 程序运行结果： 20 附录四 求解超越方程程序 W>14.1时： solve('-5.53*w-5.53*ln(w-14.1)=-3.5') W<14.1时： solve('-5.53*w-5.53*ln(14.1-w)=-3.5') 运行结果： 21 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/e031aa45bb4ae45c3b3567ec102de2bd9605de01.html