§1.4 数列的子列，则数列 k定义1：设{an}为数列，{nk}为正整数集N的无限子集，且n1n2nkan1,an2,,ank,，称为数列{an}的一个子列，简记为{an}。 在数列{an}中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{an}的子列，记为{an}，其中nk表示an在原数列kk中的项数，k表示它在子列中的项数． 定义2： 数列{an}本身以及{an}去掉有限项后得到的子列，称为{an}的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{an}非平凡子列。 性质：一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散；且在收敛时有相同的极限。 对数列的子列，有如下结果： （1） 对每一个k，有nkk． nk．反之，若nhnk，（2） 对任意两个正整数h,k，如果hk，则nh则hk． （3） limxna0,K,kK，有xna. nkk（4） 数列xn收敛的充要条件是 x2n 和 x2n1 收敛到同一极限. 证明: 必要性. 设limxnx,则任给0,找得到正整数N,当nN时,n有|xnx|. 此时对2N, 当2n>2N时也有|x2nx|, 亦即limx2nx. n同理可证limx2n1x. n充分性. 设limx2nlimx2n1x, 则对任给0, 找得到正整数N,nn当n>N时,有 |x2nx| ① 同时可找到正整数M, 当n>M时,有 |x2n1x| ② 从而取N0 =max{2N, 2M+1}, 当n>N0时, n为偶数, 则满足①; n为奇数, 则满足②, 即当n>N时,有|xnx|, 亦即 limxnx. n（5）若{a3k2}，{a3k1}和{a3k}都收敛，且有相同的极限，则{an}收敛。或者说：数列{an}收敛的充要条件是 敛到同一极限. 证明: 设lima3k2lima3k1lima3ka，则由数列极限的定义，知kkk0，K10，kK1，|a3k2a|{a3k2}，{a3k1}和{a3k}收；同样也有K2。 0，kK2，|a3k1a|；K30，kK3，|a3ka|取Nmax{3K1,3K2,3K3}，当nN时，对任意的自然数 n ，若n3k2，则必有kK1，从而|ana|kK2，从而也有|ana|；同样若n3k1，则必有；若n3k，则必有kK3，从而|ana|。所以limana，即{an}收敛。 k（6）数列{an}收敛的充要条件：{an}的任何子列都收敛于同一极限. 证明:必要性. 设limana,{an}是{an}的任一子列.0,N0,使得nk当nN时有|ana|. 由于nkk,故当kN时更有nk|anka|N,从而也有, 这就证明了limana. kk充分性. 考虑{an}的子列 {a2n},{a2n1},{a3n}.按假设它们都收敛.由于{a6n}既是{a2n},又是{a3n}的子列,故由刚才证明的必要性有lima2nlima6nlima3n.又{a6k3}既是{a2k1}又是{a3k}的子列, nnn同样可得lima2k1lima3k. kk故lima2klima2k1. 由上面的（4）点可知{an}收敛. kk下面举几个子列的例子。 例1 : 证明以下数列发散 nn（1）(1) n1; （2）n(1)n 证明: 设an(1)nn2n，则a2n1,(n)， n12n1nn(1)发散。 n1而a2n12n11，因此 2n（2）n(1)n 的偶数项组成的数列a 2n证明: n(1)n(1)n2n，发散，所以n 发散。 例2: 判断以下结论是否成立: 若{a2k1}和{a2k}都收敛，则{an}收敛。 解: 结论不一定成立。例如，设an收敛，但an(1)n发散。 (1)n，则a2k1，a2k11 都注: 若{a2k1}和{a2k}都收敛，且极限相等（即lim，a2k1lima2k）kk则{an}收敛。 例4: 若单调数列{an}含有一个收敛子列，则{an}收敛。 证明：不妨设{an}是单调增加数列，{an}是其收敛子列。于是{ankk}有界，即存在M0，使得an列收敛，则必有界）。 kM,k1,2,。（这里用了结论：数对单调增加数列{an}中的任一项am必有amamkM ，即{an}单调增加有上界，从而收敛。（这里用了结论：单调有界数列必收敛）。 例5（致密性定理）: 任何有界数列必有收敛的子数列。 证明: 设{xn}是一个有界数列，且设 ynsup{xk}sup{xn,xn1,}sup{xn1,xn2,}sup{xk}yn1 knkn1即{yn}是一个单调下降的数列，又{xn}有界，则存在正数M，|xn|M, 从而|yn|M。 则 是单调有界数列。由单调有界收敛原理知，收敛。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/e539a6e94328915f804d2b160b4e767f5acf807f.html