观察数列的极限

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观察数列的极限

极限是高等数学中最基本的概念之一，初学者往往理解不够准确。本实验的目的是: 利用数学软件Mathematica加深对数列极限概念的理解。

limanAann对于数列极限通俗的说法是：当充分大时，充分接近数A，则n。我们通

过利用Mathematica来计算数列{

an}足够多项的值，从而考察数列的极限。

limnsin

1

1n。

annsin

1

n的变化趋势。 annsin

1

n的前十项：

例1 用数、形结合的方法观察极限n

解：通过逐渐增加点并画点图，来观察当n越来越大时

为此，我们先利用Mathematica构造数据表data，其中包含了数列 data=Table[i Sin[1/i],{i,10}]

然后我们利用绘制点图的命令“ListPlot”来绘出这前10个点：

ListPlot[data,PlotRange{0,2},PlotStylePointSize[0.018]] 运行后得到点图1。

21.751.51.25

10.750.50.25

4

6

8

10

图1

我们还可以改变Table命令，增加绘制的点数，从而根据点图来观察，当数列{多项的值，该数列的极限。

另外，通过以下的循环语句，我们可以得到16幅图，图2中列出了其中的4幅，从左至右图中点数逐渐增多，从图中可以看出所画出的点逐渐接近于直线x

aa={Sin[1],2 Sin[1/2],3 Sin[1/3]}; Do[aa=Append[aa,i Sin[1/i]];

an}足够

1：

ListPlot[aa,PlotRange{0,2},PlotStylePointSize[0.018]], {i,4,20}]

21.751.51.25

10.750.50.25

1.5

2

2.5

3

3.5

4

21.751.51.25

10.750.50.25

21.751.51.25

10.750.50.25

234567

21.751.51.25

10.750.50.25

4

6

8

10

图2

5101520

为使图形更加生动，我们还可以用鼠标选定这些图形后进行动画演示（即选定这些图形后再同时按“Ctrl”和“Y”键）。



x11, y12

xn1xnynxnynyn1

2例2 设数列{xn}与{yn}由下式确定：

极限是否存在。

n1,2,n1,2,

，观察数列{xn}与{yn}的

解：输入以下语句可进行观察，此程序的功能是输出{xn}与{yn}的前10项数值。大家可改变For循环中终结语句（n10）来改变输出项的项数。 xy

fx_,y_:xy;gx_,y_:;xn1;yn

2

2;

;

Fornyn

2,n10,n,xNxn;yNyn;xnNfxN,yN;

NgxN,yN;Printxn,"

y10",yn

1.5 1.45711 1.45679 1.45679

",yn

Print"x10",xn,"

运行该程序可得： 1.41421

1.456481.456791.45679

1.456791.456791.456791.456791.45679x10

1.45679 1.45679 1.45679 1.45679 1.45679

y101.45679

1.45679

大家可以由运行结果可观察到，{xn}与{yn}均有极限，且这两极限值是相等的。

实验习题

1

lim(1)ne

n1、根据上面的实验步骤，通过作图，观察重要极限：n。

2、设数列{xn}由下列递推关系式给出：

x1

12

, xn1xnxn (n1,2,)2，观察数列

111

x11x21xn1的极限。

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/16116c3c5c0e7cd184254b35eefdc8d376ee147a.html

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