让更多的孩子得到更好的教育 乘法公式 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 通过运算多项式乘法，探索得到平方差公式、完全平方公式，培养认识由一般法则到特殊法则的能力。 通过动手、观察并发现平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。 初步学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算。 重点难点： 重点：理解平方差公式、完全平方公式，运用公式进行计算。 难点：对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。 学习策略： 通过联系整式的乘法法则，理解乘法公式的由来，并加以记忆，通过一定量的练习，达到正逆灵活运用公式的能力。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （一）多项式乘多项式的法则是： ， 公式表示为： 。 （二）计算：(a+m) (a+n)= 。 （三）计算：(x+y) (x-y)= ；(x+y) (x+y)= ； (x-y) (x-y)= 。 1 让更多的孩子得到更好的教育 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其 它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#221904 #tbjx5#223566 知识点一：平方差公式 两个数的 与这两个数的 的 ，等于这两个数的 。 公式表示为： 。 请你注意： （一）公式的推导： 方法一：请看以下两个图形 如图1，在边长为a的正方形中截去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个新的长方形，如图2所示。在图2中长方形的面积为 ，在图1中阴影部分(剩余部分)的面积为 ，由于两图中的面积相等，故有 方法二：由多项式乘法法则可得(a＋b)(a－b)＝ （二）对公式的说明： （1）结构特点：等号左边是两个 项式相乘，并且它们分别是两个数的 与这两个数的 。等号右边是乘积中两数的 ； （2）在两个因式中：一项相同，另一项互为 。 知识点二：完全平方公式 两数 （或 ）的平方，等于这两个数 的和再加上（或减 2 让更多的孩子得到更好的教育 去） 。 公式表示为： 。 请你注意： （一）公式的推导： 方法一：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图3所示） 图3 整体看：边长 的大正方形，S_________ 部分看：四块面积的和，S____________________ 根据面积相等，可得： 根据上式计算ab2 ab2a____2a22________________________方法二：用多项式乘法法则计算ab2，ab2 同样可得到： （2）对公式的说明： 等号右边：首末两项总是 的，而中间项的正负与等号左边的 对应一致；等号左边是：两个数的和或差的 。 知识点三：平方差公式与完全平方公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2； ab2a22abb2 注：（1）公式中的字母a、b可以表示 ，也可以表示 还可以表示一个 ，只要在形式上符合公式 的都可以应用公式。 （2）有些多项式相乘不能直接用公式，但是通过适当 后可以用公式。 知识点四：同底数幂的除法 法则：同底数幂相除， 不变，指数 ． 3 让更多的孩子得到更好的教育 公式：aman_ __(a0，m,n均为正整数，且mn)． 要点诠释： （1）公式左边是同底数的幂且是 的关系，右边是一个 ，且底数是左边幂的底数，指数是左边两个幂的指数的 ； （2）公式可以逆用，即可以从_____边计算到____边； （3）此公式也适用于三个或三个以上的同底数幂相除，如 amanak_ ____(m,n,k为正整数，mnk)； （4）要和同底数幂乘法区分开来，共同点是 不变：不同点是同底数幂的乘法性质中指数 ，同底数幂的除法性质中指数 。 知识点五：任何不等于0的数的 都等于1，即a0_ _(_ _0)。 注意：底数不为 ，指数为 ，其结果为 ． 知识点六：单项式除以单项式 法则：单项式除以单项式，把系数和同底数幂分别 作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为 的一个因式． 要点诠释： （1）系数相除作 ，注意单项式的系数包括它前面的 ； （2）同底数幂相除作为商的一个因式； （3）只在被除式中含的字母，则连同指数作为______的一个 ，不要漏掉。 知识点七：多项式除以单项式 法则：多项式除以单项式：先把多项式的 除以这个 ，再把所得的 相加。 公式：（am+bm+cm）÷m= = 要点诠释： （1）多项式中的“每一项”是指具有性质 的项； （2）所得商仍是 ，项数与多项式(无同类项)的项数 ，在相 4 让更多的孩子得到更好的教育 除过程中不要漏除； （3）商的符号的确定与去括号法则基本一致，如果除式的符号为正，那么商中各项符号与原多项式符号一样，如果除式的符号为负，那么商中各项符号与原多项式的各项项符号都 ． 经典例题-—自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。 更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#221904 #jdlt0#223566 类型一：平方差公式的应用 例1．计算（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(－2x2－5)(2x2－5) 思路点拨：（1）中可以把 看作a， 看作b．再根据公式计算；（2）两个因式中“ ”相同，“ ”符号相反，因而“ ”是公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，而“ ”则是公式中的b． 解： 总结升华： 举一反三： 【变式】计算：1aa1a1a1 24答案： 例2．计算（1）204×196 （2）59.8×60.2 思路点拨：平方差公式用于数的计算，（1）把204与196分别改写成 ；（2）把59.8与60.2改写成 。 5 让更多的孩子得到更好的教育 解： 总结升华： 类型二：完全平方公式的应用 例3．计算（1）(2x－3)2 （2）2x5y2 （3）ab2 思路点拨：（1）把 看做a，把 看做b，可直接套用 公式； （2），（3）中a、b符号处理方法之一：把两式分别变形为2x5y2＿＿＿＿＿2＝＿＿＿＿＿＿；ab2（＿＿＿＿）2＿＿＿＿，再用公式计算（反思得：ab2＿＿＿＿＿；ab2＿＿＿＿＿）；方法二：把两式分别变形为：2x5y2＿＿＿＿；ab2____b2后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为：2x5y2222__________；ab_________后直接用公式计算。 解： 总结升华： 举一反三： 【变式】计算：(-a2+4b)2 分析：运用公式(a+b)2= 时，“ ”就是公式中的a，“ ”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“ ”是公式中的a，而“ ”就是公式中的b． 解： 6 让更多的孩子得到更好的教育 类型三：注意创造条件使用公式 例4．判断(2＋1)(22＋1)(24＋1)……(22048＋1)的个位数字是几？ 思路点拨：此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1＝ 和上式可构成循环 。 解： 总结升华： 举一反三： 【变式1】计算(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5) 思路点拨：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“ ”、“ ”两项同号，“y”、“z”两项 ，因而，可运用 的技巧使原式变形为符合 公式的形式。 解： 【变式2】计算19992-2000×1998 思路点拨：此题中2000= ，1998= ，正好符合 。 解： 类型四：公式的推广 例5．计算(2x+y-3)2 7 让更多的孩子得到更好的教育 思路点拨：计算多项式的平方，由(a+b)2= ，可推广得：(a+b+c)2= ．可叙述为： 。 解： 举一反三： ☆【变式】计算：xy2zxy6z 解： 类型五：公式的变换，灵活运用变形公式 例6．已知ab4，ab5，求a2b2的值。 思路点拨：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： 1.ab22ab_________________2.ab22ab_________________ 3.ab2ab2________________4.ab2ab2________________解析： 总结升华： 举一反三： 【变式1】已知a＋b＝2，ab＝1，求a2＋b2和(a－b)2的值。 解： 8 让更多的孩子得到更好的教育 ☆☆【变式2】已知实数x、y、z满足xy5，z2xyy9，那么x2y3z( ) 解： ☆【变式3】已知x－y＝2，y－z＝2，x＋z＝14。求x2－z2的值。 解： 类型六：乘法公式的逆运用 例7．计算(2a＋3b)2－2(2a＋3b)(5b－4a)＋(4a－5b)2 思路点拨：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用 ，则运算更为简便。 解： 总结升华： 举一反三： 【变式】计算(a－2b＋3c)2－(a＋2b－3c)2 分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用 ，则能使运算简便得多． 解： 类型七：同底数幂的除法运算 例1．下列运算是否正确？对错题指出原因，并加以改正。 (1)a6a2a62a3 (2)a5a5a (3)x6x3x3 (4)(x)4(x)2x2 (5)(ab)6(ba)3(ab)3 (6)(c)7(c5)c2 9 让更多的孩子得到更好的教育 思路点拨: （1）指数相除，应为指数 ，而不是指数 ； （2） (对或错)在将指数相除,或误认为a0a： （3）此题是 不是 ，x与x不是 ，不能合并； （4）错在把幂的符号与底数的符号相混淆，或者在乘方改变底数符号时产生错误，63正确结果应为 ； （5）______（对或错)在将不同底的幂当作 的幂，或在不同底幂化成 幂相乘时产生符号错误，应为 。 （6） 。 解析： 总结升华： 例2．计算：〔(a3)3(－a4)3〕2 ÷ (a2)3÷(a3)2 思路点拨：注意运算 ，运用运算法则化简。 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式】(xy)2m1__________[(xy)2m1]3 答案： 10 让更多的孩子得到更好的教育 103y的值。 例3．若5x－3y－2＝0，求105x÷思路点拨：已知是一个 方程，而要求的则是 运算，联想到同底数幂相除的性质，可将除法运算转化成指数的 运算，然后 代入。注意不要企图求出__________的值后分别代入求值。 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式1】已知xm＝8，xn＝5，求xm－ n的值； 解析： 【变式2】若3m＝6，9n＝2，求32m－4n＋1的值 解析： 类型二：单项式除以单项式 例4．计算 （1）(a2n+2b3c)÷(2anb2) （2）(x－y)5÷(y－x)3 （3）(2x3y2)3÷(1xy)2 32（4）(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3) 思路点拨:（1）中被除式的系数是 ，可按照 法则计算；（2）将底 11 让更多的孩子得到更好的教育 数多项式看作 ，先将底数调整为相同的，再进行 的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简单的形式），并将结果化到最后；对于混合运算，先弄清运算顺序，即先乘方，再自左至右进行 法，再根据相应的法则进行计算 解析： 总结升华： 例5．已知：8a3bm ÷28anb2=2b2，求m、n的值 7思路点拨：等式左边变形为 ，右边为 ，由等式的性质知 ，从而可求出 。 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式】已知(－1xyz)2·m=1x2n+1yn+3z4÷5x2n－1yn+1z，求m. 33解析： 12 让更多的孩子得到更好的教育 类型三：多项式除以单项式 例6．计算： （1）[（xy2）2+3xy3·xy－2y2·（xy）2]÷xy3·y （2）[（x+y）3－2（x+y）2+6（x+y）]÷（x+y） 思路点拨: 第（1）题应注意运算顺序，同级运算要按从 的顺序依次进行． 第（2）题应视 为一个整体而看成是 ． 解析： 总结升华： ☆例7．已知(15abn＋2－9a2b2n)÷(－3abm)＝－5b3＋3ab5，求(m＋n)2＋(n－m)2＋(n＋m)(n－m)的值。 思路点拨：等式左边展开为 ，根据等式的性质和多项式相等的条件知 ， 。通过解关于m，n的方程组可解出 的值，然后代值求解. 解： 举一反三： 【变式】已知多项式2a3－4a2－a除以一个多项式A，得到商式为2a，余式为a2－a，求这个多项式. 解析： 13 让更多的孩子得到更好的教育 三、总结与测评 要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。 总结规律和方法——强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。 相关内容请参看网校资源ID：#tbjx22#221904 （一）计算时，要先观察题目特点是否符合 的条件，若不符合，应先变形为符合 的条件的形式，再利用 进行计算，若不能变为符合 的形式，则应运用 进行计算。 （二）进行混合运算时，不仅要注意正确应用 ，还要注意 和运算律。 知识点：平方差与完全平方公式 测评系统分数： 模拟考试系统分数： 如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#221904做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。 成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。 自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。 我的收获 14 让更多的孩子得到更好的教育 习题整理 好题 错题 题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题 注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。 网○校○重○要○资○源 ○知识导学：乘法公式 （#221904） 视听课堂：乘法公式 (#13959) 若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！ 更多资源，请使用我们网校的学习引领或搜索功能来查看使用。 对本知识的学案导学的使用率： □ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） □ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下） 学生： 家长： 指导教师： 15 让更多的孩子得到更好的教育 请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。 16 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ed4dd6465bfafab069dc5022aaea998fcc22402a.html