文科导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、别离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：〔1〕对称轴〔重视单调区间〕 与定义域的关系 〔2〕端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大局部都在解决―不等式恒成立问题‖以及―充分应用数形结合思想‖，创立不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的根底 一、根底题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f(x)0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： ‘ 第一种：别离变量求最值-----用别离变量时要特别注意是否需分类讨论〔>0,=0,<0〕 第二种：变更主元〔即关于某字母的一次函数〕-----〔谁的范围就把谁作为主元〕； 〔请同学们参看2021省统测2〕 例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x)，f(x)在区间D上的导数为g(x)，假设在区间D上，g(x)0恒成立，那么称函数yf(x)在区间D上为―凸函数‖，实数m是常数，x4mx33x2 f(x) 1262 〔1〕假设yf(x)在区间0,3上为―凸函数‖，求m的取值范围； 〔2〕假设对满足m2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为―凸函数‖，求ba的最大值. x4mx33x2x3mx2 3x 解:由函数f(x) 得f(x)126232 g(x)x2mx3 〔1〕 yf(x)在区间0,3上为―凸函数‖， 那么 g(x)xmx30 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)0 2030g(0)m2 09m330g(3) 解法二：别离变量法： ∵ 当x0时, g(x)xmx330恒成立, 当0x3时, g(x)xmx30恒成立 22 x233等价于mx的最大值〔0x3〕恒成立， xx 3而h(x)x〔0x3〕是增函数，那么hmax(x)h(3)2 x m2 (2)∵当m2时f(x)在区间a,b上都为―凸函数‖ 2那么等价于当m2时g(x)xmx30 恒成立 变更主元法 2 再等价于F(m)mxx30在m2恒成立〔视为关于m的一次函数最值问题〕 20F(2)x2x301x1 2F(2)02xx30 ba2 请同学们参看2021第三次周考： 例2：设函数f(x)13x2ax23a2xb(0a1,bR) 3 〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调区间和极值； 〔Ⅱ〕假设对任意的x[a1,a2],不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围. 〔二次函数区间最值的例子〕 解：〔Ⅰ〕f(x)x4ax3ax3axa 22 0a1 令f(x)0,得f(x)令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为〔－，a〕和〔3a，+〕 ∴当x=a时，f(x)极小值= 233ab; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 42 〔Ⅱ〕由|f(x)|≤a，得：对任意的x[a1,a2],ax4ax3aa恒成立① gmax(x)a22那么等价于g(x)这个二次函数 g(x)x4ax3a的对称轴x2a gmin(x)a a1aa2a〔放缩法〕 0a1, 即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 g(x)x24ax3a2在[a1,a2]上是增函数. ∴g(x)maxg(a2)2a1. g(x)ming(a1)4a4. 1, x2aa2 于是，对任意x[a1,a2]，不等式①恒成立，等价于 g(a2)4a4a,4解得a1. 5g(a1)2a1a 又0a1,∴4a1. 5 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴〔重视单调区间〕与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；从而转化为第一、二种题型 例3；函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3， t62x(t1)x3(t0) 2 〔Ⅰ〕求a,b的值； 〔Ⅱ〕当x[1,4]时，求f(x)的值域； 〔Ⅲ〕当x[1,4]时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 g(x)x3 f/(1)3a3解：〔Ⅰ〕f(x)3x2ax∴， 解得 b2b1a 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，f(x)在[1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16 ∴f(x)的值域是[4,16] t2〔Ⅲ〕令h(x)f(x)g(x)x(t1)x3x[1,4] 2 2思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0，即t(x2x)2x6别离变量 /2 思路2：二次函数区间最值 二、题型一：函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1：转化为f’(x)0或f’(x)0在给定区间上恒成立， 回归根底题型 解法2：利用子区间〔即子集思想〕；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚―在〔m,n〕上是减函数‖与―函数的单调减区间是〔a,b〕‖，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：aR，函数f(x)13a12xx(4a1)x． 122 〔Ⅰ〕如果函数g(x)f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值； 〔Ⅱ〕如果函数f(x)是(, 解：)上的单调函数，求a的取值范围． f(x) 〔Ⅰ〕∵ 令12x(a1)x(4a1). 411f(x)是偶函数，∴ a1. 此时f(x)x33x，f(x)x23， 124f(x)0，解得：x23. 列表如下： 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ee7d10743f1ec5da50e2524de518964bcf84d2c8.html